Kaç farklı abcd 4 basamaklı sayı yazılabilir ?

Question

a+b+c+d= 32 şartını sağlayan kaç farklı abcd 4 basamaklı sayısı yazılabilir ? ( hocam klasik özdeş dağılım yöntemleri ile bir sonuca varamadım çünkü verdiğimiz sayılar belli bir aralıkta olmak zorunda kalıyor örn. 5 ten küçük değer alamıyorlar, onu bir şekilde hesapladım fakat ayrıca bir üst sınır da var verdiğimiz sayılar 9 dan büyük olamıyor. Bu tarz sorularda ne yapmak gerekir?) teşekkürler

Comments

Bence en kolay yol teker teker saymak. Şu şekilde durumlara ayırabilirsin:

Birinci durum: En küçük rakam 5.

Bu durumda diğer üç rakamın toplamının 27 olması lazım. Bu da ancak hepsinin 9 olması ile mümkün. 5999 sayısının rakamları ile yazılabilecek kaç farklı dört basamaklı sayı vardır?

Ikinci durum: En küçük rakam 6.

Bu durumda diğer üç rakamın toplamının 26 olması lazım. Bu da ancak bu sayıların 8,9,9 olması ile mümkün. 6899 sayısının rakamları ile yazılabilecek kaç farklı dört basamaklı sayı vardır?

Üçüncü durum: En küçük rakam 7.

Şimdi iş biraz daha alengirli. Diğer üç rakamın toplamının 25 yapması lazım. Bu durumda 7,9,9 ya da 8,8,9 olmak üzere iki seçenek var. Bu iki seçenek için de yukarıda yapılanı yapmak lazım.

Dördüncü durum: En küçük rakam 8.

Bu durum çok daha basit.

---

Teşekkürler.

Answer 1

Çözüm 1:

$a+b+c+d = 32$ denklemi $1\leq a \leq 9$, $0 \leq b \leq 9$, $0 \leq c \leq 9$, $0 \leq d \leq 9$ koşulları altında tam sayılarda çözmeliyiz. $a=a' + 1$ dersek $0\leq a' \leq 8$ olup denklem $$a' + b + c + d = 31 \tag{1}$$ biçimine gelir. Bu denklemin negatif olmayan tamsayılardaki çözüm sayısı dağılım prensibinden  $$N= \dbinom{34}{3}$$ olur. Bunlar $(1)$ için tüm çözümlerin sayısıdır. 

Sonra $a' \geq 9$ istenmeyen durumlarının sayısı (aslında $a\geq 10$ durumlarının sayısı) için $a' = a'' + 9$ değişken değiştirmesi yapalım. $a'' \geq 0$ olup denklem $a'' + b + c + d = 22$ biçimine gelir. Dağılım prensibiyle bu denklemin çözüm sayısı $\dbinom{25}{3}$ olur. 

Öte taraftan $(1)$ denkleminin $b\geq 10$, $c\geq 10$, $d\geq 10$ istenmeyen durumları da vardır. Örneğin $b\geq 10$ için $b= b'+10$ denirse $(1)$ denklemi $a'+b'+c+d = 21$ biçimine gelir. Dağılım prensibiyle çözüm sayısını $\dbinom{24}{3}$ buluruz. O halde tüm bu istenmeyen durumların toplamı $$N_1 = \dbinom{25}{3} + 3\cdot \dbinom{24}{3}$$ olur.

Şimdi de $(1)$ denkleminin istenmeyen durumları arasındaki ikişerli kesişimleri hesaplayalım. Örneğin $a' \geq 9$ ve $b \geq 10$ durumunda $(1)$ denkemi $a'' + b' + c + d = 12$ biçimine gelir. Bu denklemin çözüm sayısı $\dbinom{15}{3}$ olur. $b \geq 10$ ve $c \geq 10$ durumunda $(1)$ denkemi $a' + b' + c' + d = 11$ biçimine gelir. Bu denklemin çözüm sayısı $\dbinom{14}{3}$ olur. Tüm bu ikişerli kesişimlerin toplamı $$N_2 = 3\cdot \dbinom{15}{3} + 3\cdot \dbinom{14}{3}$$

olur.

Şimdi de istenmeyen üçlü kesişimleri hesaplayalım. Örneğin $a' \geq 9$, $b \geq 10$, $c \geq 10$ durumunda $(1)$ denklemi $a'' + b' + c' + d = 2$ biçimine gelir. Çözüm sayısı $\dbinom{5}{3}$ olur.  $b \geq 10$, $c \geq 10$, $d \geq 10$ durumunda $(1)$ denklemi $a' + b' + c' + d' = 1$ biçimine gelir. Çözüm sayısı $\dbinom{4}{3}$ olur. Tüm bu üçlü kesişimlerin toplamı  $$N_3 = 3\cdot \dbinom{5}{3} + \dbinom{4}{3}$$

olur. Dörtlü kesişim durumu yoktur. Böylece $(1)$ denkleminin istenen özellikteki çözümlerinin sayısı içerme-dışarma prensibinden $$N-N_1 + N_2 - N_3 \\ = \dbinom{34}{3} - \dbinom{25}{3} - 3\cdot \dbinom{24}{3} +  3\cdot \dbinom{15}{3} + 3\cdot \dbinom{14}{3} - 3\cdot \dbinom{5}{3} - \dbinom{4}{3}$$ elde edilir.

Çözüm 2:

$32$ özdeş topu $4$ kutuya dağıtacağız. Her bir kutu en fazla $9$ top alabiliyor ve ilk kutuda en az $1$ top bulunması gerekiyor. Tüm kutuları $9$'ar top ile dolduralım ve $4\cdot 9 = 36$ top eder. Şimdi bu kutulardan toplamda $4$ top çekelim ki geriye $36-4=32$ top kalsın. Kutulardan sırasıyla $x,y,z,t$ tane top çekilmiş olsun. $$x+ y + z + t = 4 \tag {2}$$ denkleminin negatif olmayan tam sayılardaki çözüm sayısı $\dbinom{7}{3}= 35$ bulunur.

Not: Alıştırma olarak, her iki çözüm yolundan elde edilen değerlerin aynı olduğunu kontrol ediniz.

Comments

İşlemleri kontrol ettim sonuçlar eşit çıktı elinize emeğinize sağlık teşekkürler.

---

Rica ederim eshkisehir26, Sitede doğru olduğuna kanaat getirdiğiniz bir çözüm yolunu onaylayabiliyorsunuz. (''Çözümü kabul ediyorum'' anlamına gelir.)