Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.6k kez görüntülendi
Hocalarım , aklıma tam oturmayan eksik bildiğim bazı şeyleri sormak isterim.

1)  Bir fonksiyonun limiti yok diyebilmek için nokta kesin belirtilmelidir. 

limx01x limiti yoktur. 0 dışında her yerde limiti vardır.

direk 1x için limiti yoktur demek yanlıştır.

2) Yine aynı 1x fonksiyonundan gidiceğim.Bu fonksiyonun türevi 1x2 ve limx0f(x)f(0)x0  bu mevcutsa türevim vardır. limx01x bunun varlığı yokluğu beni alakadar etmiyor türevin varlığı için. İlk yazdığım tanıma gelirsem limx0f(x)f(0)x0 , burada f(0) tanımsız ve 0 harici her yerde türevide vardır . 
0 noktasında türevinin olmadığını nasıl gösterebilirim ?

3) Şöyle bir genelleme yapılabilir mi ? a noktasında limiti yok veya a noktasında süreksiz ise a noktasında türevide yoktur.


Lisans Matematik kategorisinde (303 puan) tarafından  | 1.6k kez görüntülendi

x=0 yazmadan, yani türevin varlığını göstermeye çalıştığın noktayı açıkça yazmadan (zira siz, türevin tanımındaki ϵ yerine x kullanmışsınız) türevin tanımından ϵ ve x'e bağlı bir limit ifadesini türetip bunun üzerinden değerlendirme yaparsanız, hangi noktalarda limit mevcut değildir vs gibi şeyleri çıkarabilirsiniz sanırım.

Yani f(x)=1/x için, limϵ0f(x+ϵ)f(x)ϵ ifadesini açıkça hesaplayıp değerlendirin.

Benim limit içeren türev tanımı yanlış olmuş.
 lima0f(x)f(a)xa nerede limit vardır sorusuna cevap aramak için bu tanımı kullanmak yerine sizin yazdığınızı kullanmalıyım.

lima0f(x+a)f(x)x+ax bunu kullanarak 1x in türevini alıcam.

lima01x+a1xa lima0ax2+xa1a 1x2 geliyor limitin sonucu. 
Bu sonuca bakarak mı x = 0 için türev yoktur demeliyim ?

Evet. Zîrâ, x=0 durumunda (kabaca dersek) limit sonsuz olmaktadır ki buna limit yok diyoruz.

hocam peki şunun hakkında Şöyle bir genelleme yapılabilir mi ? a noktasında limiti yok veya a noktasında süreksiz ise a noktasında türevide yoktur.

aaaa noktasında türevide yoktur.

Hocam ben şunu çıkarıyorum.Ben fonksiyonun türevini alıyorum sonrasında tanımsız yapan değerler de onun orada türevinin olmadığını söylüyorum. 

Aynı şey integral içinde geçerli mi ?

1xdx=lnx+c , (,1) aralığında tanımsız bu aralıkta integrallenemezde demeliyim dimi ?

f fonksiyonunun x=a'da türevinin olması için gerek yeter şart, f'nin x=a'da sürekli olmasıdır, diye bir lakırdı mevcuttur.

Pratik olarak dediğiniz gibi, evet. Yalnız, integralde dikkatli olmak gerek. İntegrant ve sınırların durumuna göre Has olmayan (veya genelleştirilmiş) manada integre etmek gerekir. Sonuçta, pratikte, elde edilen fonksiyonun hangi x'ler için sonlu olduğuna bakıyorsunuz.

hocam dediğinize ek ilave  a noktasında sürekli ve sağ ve sol türevlerde birbirine eşit olmalı.

|x| her yerde süreklidir. x=0 noktasını göz önüne alırsak x=0da sürekli ama  Sağ türev ve Sol türev birbirine eşit değildir.

|x| fonksiyonu x = 500 için de sürekli. x=500 için türev mevcuttur değil mi ?

Yani biz fonksiyona bir noktada türevi yoktur diyebiliriz.Genelleyerek |x| in türevi yoktur demek yanlıştır değil mi ? x= 0 noktasında türevi yoktur doğrusudur.

Aslında karışıklık, hassas (ve dahası, kesin) bir dil kullanılmamasından kaynaklanıyor. Bir fonksiyona türevi vardır demek, çalışılan aralıkta her noktada türevi vardır demektir. 

Hatırlarsanız türevin tanımı öncelikle noktasal olarak verilir. Yani, önce tek bir noktada türevlenmeyi tanımlıyoruz. Eğer incelenen aralıkta her noktada türev varsa fonksiyona türevlenebilir diyoruz. Aksi halde, türevlenebilir diyemeyiz; Şu nokta haricinde türevlenebilir demek lazım gelir.

Son örnekte, mutlak değer fonksiyonu x=0 haricinde türevlidir. Fakat [1,+1] aralığında türevli değildir. Çünkü x=0 noktasında türevli değildir.

20,293 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,660,895 kullanıcı