Satranç turnuvasına kaç kişi katılmıştır?

Question

Bir satranç turnuvasına katılan her oyuncu, diğer oyunculardan her biriyle tam olarak bir kez karşılaşıyor. Her oyunda yenen oyuncu $1$, yenilen ise $0$ puan kazanırken, beraberlik durumunda her iki oyuncu $1/2$ puan kazanıyor. Turnuva bitiminde, oyunculardan her birinin elde ettiği toplam puanın tam olarak yarısını, en düşük toplam puanlı üç oyuncu ile yaptığı karşılaşmalardan elde etmiş olduğu gözleniyor. Bu turnuvaya kaç oyuncu katılmıştır? (UİMO-2002)

Turnuvaya 4 veya 5 kişi katılamaz. Çünkü 4 kişi katılırsa 1. kişi kazandığı tüm puanları son 3 kişiden kazanmış olur ve soru ile çelişir. Turnuvaya 5 kişi katılırsa ilk iki oyuncudan yenilen kişi tüm puanları son 3 kişiden alır, ya da ilk 2 oyuncu berebere kalırsa yine çelişki çıkar. Çünkü ilk 2 oyuncu son 3 kişiden de $1/2$ puan kazanmalı ancak bu durumda ise son 3 kişi ilk iki kişiden daha çok puan kazanır. Sonraki sayıların satranç turnuvasına katılan kişi sayısı olabildiğini (ya da olamadığını) nasıl gösteririz?

Comments

("oyunculardan her birinin elde ettiği toplam puanın tam olarak yarısını" koşulu "son 3 oyuncu dışındakiler" şeklinde olmalı herhalde.)

Şöyle bir basit çözümler var:

10 oyuncudan 7 tanesi diğer 3 oyuncunun tümünü yener ve kendi aralarında hep berabere kalıp 6  puan ile  (kendi aralarında bir şekilde sıralanıp) ilk 7 sırayı alırlar.

Diğer 3 oyuncu kendi aralarında ne yaparlarsa yapsınlar, (en fazla 2 puan alıp) son üç oyuncu olurlar.

9 oyuncu: 6 tanesi son 3 oyuncunun ikisini yenip (hep aynı) biri ile berabere kalsa ve kendi aralarında hep berabere kalsa bu 6 oyuncun 5 er puanı olur. Diğer üç oyuncudan bu 6 kişi ile berabere kalan diğerlerinden birine yenilse veya berabere kalsa (diğer ikisi aralarındaki maçta ne yaparsa yapsın) koşul sağlanıyor.

Sanırım 8 oyuncu için de benzer bir çözüm var gibi.

Sorunun tek cevabı olması için bir koşul daha olmalı gibi.

---

"Herkesin puanı farklı" gibi bir koşul olabilir.

---

Her oyuncu puanının yarısını son üç oyuncudan alır kuralı son üç oyuncu için de geçerli olması daha mantıklı sanırım. O zaman basit bir çözüm var.

---

Puanlar üzerinden gidince cevabı 9 buldum ama ne denli doğru bilmiyorum.

Bir satranç oyununda her halükârda toplam 1 puan verilir. Yenen kişiye 1 puan veya berabere kalan 2 kişiye 1/2 puan verilir. 

$n$ kişi olduğunu varsayalım o zaman $\displaystyle\binom{n}{2}$ oyun dolayısıyla toplam $\displaystyle\binom{n}{2}$ puan vardır. 

Son 3 kişi aralarında yaptığı maçlarda 3 puan toplarlar. ($\displaystyle\binom{3}{2}=3$) Aralarındaki maçlardan toplam puanlarının yarısını elde ettiklerinden bu 3 kişinin toplam puanları 6'dır.

Ayrıca diğer $n-3$ kişinin aralarında topladıkları puan toplamı $\displaystyle\binom{n-3}{2}$'dir. Buda onların puanlarının yarısı ise toplam puanları $2\cdot\displaystyle\binom{n-3}{2}$ olur.

Son 3 kişinin ve diğerlerinin puan toplamı

$6+(n-3)(n-4)$'dır. toplam puan sayısı da

$\displaystyle\binom{n}{2}=\dfrac{n.(n-1)}{2}$ olduğundan bu iki ifade birbirine eşittir.

$6+(n-3)(n-4)=\dfrac{n.(n-1)}{2}$

$n^2-13n+36=0$

$(n-9)(n-4)=0$

Soruda yazdığım nedenden ötürü $n=4$ olamaz. Demekki $n$ ancak 9 değerini alabilir. 

---

Kafamı karıştıran nokta şu biz $n$'nin 9 olduğunu mu bulduk yoksa $n$ diye bir sayı varsa bunun 9 olabileceğini mi? 

$(n-9)(n-4)=0$ denkleminden sonra direkt $n=9$ deyip ispatı bitirebilir miyiz yada $n=9$ için satranç oyuncularını sıralamamız gerekir mi?

---

Bu soru önemli. Sen, böyle bir durum VARSA, n=9 olması gerektiğini gösterdin. Gerçekten de bu koşulu sağlayan bir sonuç tablosu da oluşturmak gerekiyor.

---

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} & A & B & C & D & E & F & S1 & S2 & S3 & \text{Puan} \\ \hline A & \ast & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 6 \\ \hline B & 0 & \ast & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 6 \\ \hline C & 1 & 0 & \ast & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 6 \\ \hline D & 0 & 0 & 1 & \ast  & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 4 \\ \hline E & 0 & 1 & 0 & 0 & \ast & 1 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline F & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & \ast & 0 & 1 & 1 & 4 \\ \hline S1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \ast & 1 & 0 & 2 \\ \hline S2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \ast & 1 & 2 \\ \hline S3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & \ast & 2 \\ \hline \end{array}$

(Başka tablolar da var)

---

$n=4$ çözümü, denklem, üç kişinin sonuncu olduğu bilgisinin içermediği için, aşağıdaki tabloya karşı geliyor.

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} & A & B & C &D &  \text{Puan} \\ \hline A & \ast & 0 & 0 & 0 & 0  \\ \hline B & 1 & \ast & \frac12 & \frac12 &2 \\ \hline C & 1 & \frac12 & \ast & \frac12 &2\\ \hline D & 1 & \frac12 & \frac12 &\ast&2 \\ \hline  \end{array}$

(Başka tablolar da mümkün)