$f_{n-1}\cdot f_n+f_n\cdot f_{n+1}=f_{2n}$ eşitliğinin ispatı

Question

Fibonacci dizisi, $f_0=0$, $f_1=1$ ve $n\geq2$ için $f_{n-2}+f_{n-1}=f_n$ olmak üzere

$f_{n-1}\cdot f_n+f_n\cdot f_{n+1}=f_{2n}$

eşitliğini ispatlayınız.

Ben $n$ üzerine tümevarımla çözmeyi denedim ama sonuca ulaşamadım.

Comments

Tümevarım adımında ne yaptığını yazabilir misin emresafa?

---

$f_{0}\cdot f_1+f_1\cdot f_{2}=f_{2}$

$0\cdot 1+1\cdot 1=1=f_2$ geliyor yani 

$n=1$ için eşitlik doğru.

Şimdi 

$f_{n-1}\cdot f_{n}+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n}$

olduğunu varsayıp

$f_{n}\cdot f_{n+1}+f_{n+1}\cdot f_{n+2}=f_{2n+2}$ 

göstermeye çalışalım.

Varsayımdaki $f_n\cdot f_{n+1}$ ifadesini yalnız bırakıp doğruluğunu göstermeye çalıştığımız ifadede yerine yazalım. O zaman:

$f_{2n}-f_{n-1}\cdot f_{n}+f_{n+1}\cdot f_{n+2}=f_{2n+2}$ 

elde ederiz. $f_{2n}$'yi karşı tarafa atalım.

$f_{n+1}\cdot f_{n+2}-f_{n-1}\cdot f_{n}=f_{2n+1}$  Bu noktadan sonra

$\displaystyle\sum_{k=1}^n f_{k}^2=f_n\cdot f_{n+1}$

$1+\displaystyle\sum_{k=1}^n f_{2k}=f_{2n+1}$

gibi eşitlikleri ifadede yerine yazdım ama bir sonuç gelmedi.

---

Şimdi ispatlamayı başardım.

$f_{n+1}\cdot f_{n+2}-f_{n-1}\cdot f_{n}=f_{2n+1}$ eşitliğinin sol tarafına $f_{n}\cdot f_{n+1}$ ifadesini ekleyip çıkartırsak:

$f_{n+1}\cdot f_{n+2}-f_{n-1}\cdot f_{n}-f_{n}\cdot f_{n+1}+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n+1}$ eşitliğini elde ederiz.

Varsayımımızdan

$f_{n-1}\cdot f_{n}+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n}$ olduğunu biliyoruz. Eşitlikte yerine yazalım.

$f_{n+1}\cdot f_{n+2}-\left(f_{n-1}\cdot f_{n}+f_{n}\cdot f_{n+1}\right)+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n+1}$

$=f_{n+1}\cdot f_{n+2}-\left(f_{2n}\right)+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n+1}$

$\Rightarrow f_{n+1}\cdot f_{n+2}+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n+1}+f_{2n}=f_{2n+2}$

Sonuç olarak

$f_{n}\cdot f_{n+1}+f_{n+1}\cdot f_{n+2}=f_{2n+2}$ eşitliğini kanıtlamış oluruz. Peki tümevarım dışında bunu ispatlamanın yöntemleri neler? Tümevarımla ispatı yalnız cevabını bildiğimiz önermelerde kullanabildiğimiz için beni pek tatmin eden bir ispat yöntemi değil. 

---

Bu ispat tam olmadı sanrım emresafa.

(İlk yorumundaki "doğruluğunu göstermeye çalıştığımız ifadede yerine yazalım" daki) $f_{n+1}\cdot f_{n+2}-f_{n-1}\cdot f_{n}=f_{2n+1}$ eşitliği, zaten ispatlanmak istenen eşitlikten elde edilmişti.

İspatlarda, iddia edilen eşitlikle başlamak iyi fikir değildir.

---

Evet hocam o kısmı ihmal etmişim. Nasıl bir yol izleyeceğim konusunda fikrim yok. $n$. Fibonacci terimlerinden $2n$. terime nasıl ulaşacağımı bilmiyorum. Daha yeni uyarınızla birlikte tekrar çözmeye çalıştım. Karşıma $f_{n-1}^2+f_n^2=f_{2n-1}$ denklemi çıktı. Onu tümevarımla çözmeye çalıştım onda da karşıma $f_{n-1}+f_{n+1}=\dfrac{f_{2n}}{f_n}$ denklemi geldi. Her seferinde yeni bir problem geliyor. Bir türlü başaramadım.

---

(Tümevarım kullanmadan) Şu sorudaki formülü kullanmayı deneyebilirsin.