Question

Fibonacci dizisinde ardışık herhangi 5 sayıdan 3'ü seçiliyor.Seçilen bu 3 sayının aritmetik bir dizinin terimleri olma olasılığı kaçtır? 

a,b,a+b,a+2b,2a+3b bahsi gecen terimler olsun.Bunlardan seçebileceğimiz 10 farkli üçlüyü yazdığımda a,a+b,a+2b ve b,a+2b,2a+3b aritmetik dizi olusturuyor.Fakat a nin fibonacci dizisinin 2.terimi olmasi halinde a,b,a+b 1.terimi olması halinde isea,a+2b,2a+3b ve b,a+b,a+2b üçlüleri şartı sağlıyor.Bu durumlar çözüme nasıl dahil edilir.Bu sorunun daha pratik bir çözümü var mıdır?

Answer 1

Diziden rastgele seçilen ardışık beş terim : $a_n,a_{n+1},a_{n+2},a_{n+3},a_{n+4}$ olsun. Dizinin özelliği gereği   $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$   dir.  Öyleyse  $a_{n+3}=a_n+2a_{n+1},\quad a_{n+4}=2a_n+3a_{n+1}$  olur.  Seçilen beş terimden $C(5,3)=10$ tane üçlü oluşturulur.  Bunlardan  sadece;

$a_n,a_{n+1},a_n+2a_{n+1}$

$a_n,a_n+a_{n+1},a_n+2a_{n+1}$

$a_{n+1},a_n+2a_{n+1},2a_n+3a_{n+1}$  üçlüleri istenilen koşulu yani aritmetik dizi oluşturma koşulunu sağlar.  Ancak eğer $a_n=1$ ise  o zaman $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$  üçlüsü de sağlar.

O halde $a_n\neq 1$ iken istenen olasılık $3/10$ diğer halde $25$ dir.