Egitim

Fibonacci dizisiyle ilgili bir teorem...

0 beğenilme 0 beğenilmeme
46 kez görüntülendi

$f_0=1,f_1=1\text{ ve }f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$ şeklinde tanımlanan Fibonacci dizisi için, $f_1+f_2+f_3+\cdots+f_n=f_{n+2}-1$ olduğunu ispatlayınız.

Aklıma tümevarım geldi, ancak bir iki tane $n\in\mathbb{N}$ için denediğimde önerme sağlamıyordu. Ifadesinde bir yanlışlık olabilir mi acaba? Mesela $f_0+f_1+f_2+\cdots+f_n=f_{n+2}-1?$

Tümevarımın işe yarayacağını düşünüyorum ama başka ispat yöntemleriyle de çözümler varsa onları da merak ediyorum.

14, Ocak, 14 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Deniz Tuna Yalçın (831 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Ilk olarak $n=0$ durumunu kontrol etmeliyiz. Dogru mu, degil mi diye? Yani $$f_0=f_2-1$$ esitligi saglaniyor mu? $$f_0=1 \;\;\;\text{ ve } \;\;\;f_2-1=2-1=1$$ oldugundan bu esitlik saglaniyor.

Daha sonra su sorunun cevabinin olumlu oldugunu gostermeliyiz: Eger bu esitlik bir $n\ge 0$ tam sayisi icin saglaniyorsa $n+1$ icin de saglanir.

Saglaniyorsa diye kabul ettigimiz nedir? Bir $n\ge 0$ icin $$f_0+f_2+\cdots+f_n=f_{n+2}-1.$$ Gostermemiz gereken ise $$f_0+f_2+\cdots+f_n+f_{n+1}=f_{n+3}-1.$$

O zaman gostermeye calisalim:  $$f_0+f_2+\cdots+f_n+f_{n+1}=(f_0+f_2+\cdots+f_n)+f_{n+1}$$ dogal olarak saglanir ve parantez icerisini tumevarim kabulumuzu uygulayabiliriz. Bu durumda  $$=(f_{n+2}-1)+f_{n+1}=(f_{n+1}+f_{n+2})-1=f_{n+3}-1$$ saglanir. Bu da zaten gostermek istedigimizdi...

Bu sekilde ispatimizi tumevarim ile bitirmis oluruz.

15, Ocak, 15 Sercan (23,476 puan) tarafından  cevaplandı
15, Ocak, 15 Deniz Tuna Yalçın tarafından seçilmiş

Teşekkür ederim hocam, yani teoremin ifadesi kitabımda hatalıymış, elinize sağlık:)

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Diger bir yol olarak $$f_0=f_2-f_1$$$$f_1=f_3-f_2$$$$\vdots$$$$f_{n}=f_{n+2}-f_{n+1}$$ esitliklerini taraf tarafa toplarsak (burada tumevarim yapmali miyiz?) $$f_0+f_1+\cdots+f_n=f_{n+2}-f_1=f_{n+2}-1$$ olur.

15, Ocak, 15 Sercan (23,476 puan) tarafından  cevaplandı

Tümevarıma gerek yok gibi düşünüyorum, çünkü zaten tanımı kullanmışız. Aklıma benzer bir örnek olarak $$\sum_{a=1}^n (a^2+1)a!=(n-1)n!$$ olması geldi (dikkatsizlik yapmış olabilirim) genel terime $+a\cdot a!-a\cdot a!$ ekleyerek bu sonuca ulaşabiliriz, birkaç $n\in\mathbb{N}$ için deneyerek arada bir ilişki yakalayıp tümevarımla da ispatlatayabiliriz. Sonuçta ikisi de doğru. (Gibi düşündüm, kesin var çıkacak:))

...