İraksak ve yakinsak diziler arasında işlemler

Question

Sonsuza iraksayan bir dizi ile 0'dan farklı bir reel sayıya yakınsayan bir dizinin çarpımının limiti  yakınsak dizinin limiti pozitif bir değerse artı sonsuz,negatif bir değerse eksi sonsuzdur önermesinin doğruluğu nasıl gosterilir? 

an iraksak bn yakinsak bir dizi olsun.(an).(bn) yakinsak olsaydi  bu carpim dizisi  ($\frac{1}{bn}$) dizisi ile çarpıldığında (an) yakınsak çıkardı.Buradan çarpımın ıraksaklığı gösterilebilir.Ancak  arti   ya da eksi sonsuza iraksayacağı nasıl gosterilir bir fikrim yok.

Comments

Yakınsak olan pozitif olsun. Her pozitif gerçel sayıdan büyük olduğunu göstermeye çalışırsan daha rahat gösterirsin. Limit var ise belirli bir süreden sonra L/2'den büyük olur. Sonsuza giden ise 2M/L'den. Çarpınca da M'den. Bu kadar basit bir fikir. 

---

Hocam aslında kafama takılan şey iraksak diziler arasındaki islemler.Yakinsak diziler icin teoremler mevcut.Fakat iraksak dizilerde bu tarz teoremlerden bahsetmek mümkün değil.Sonuç iraksak çıkacağı gibi yakinsak da çıkabilir.Örneğin $\frac{-n^{2}+n+2}{\sqrt{n+2}+n}$ dizisini inceleyelim. Ben bu diziyi yakınsak ya da iraksak bir forma sokamadığım gibi eksi sonsuza ve arti sonsuza iraksayan iki dizi arasindaki bölme işlemi olarak aldiğimda sonucun ne çıkacağını gosteremiyorum.

---

$\frac{-n^{2}+n+2}{\sqrt{n+2}+n}$ dizisininin $-\infty$ ye ıraksadığını, (sorudaki iddiayı kullanarak) şöyle gösterebilirsin.

$\frac{-n^{2}+n+2}{\sqrt{n+2}+n}=n\left(\frac{-n+1+\frac2n}{\sqrt{n+2}+n}\right)=n\left(\frac{-1+\frac1n+\frac2{n^2}}{\sqrt{\frac1n+\frac2{n^2}}+1}\right)\rightarrow(+\infty)\cdot(-1)=-\infty$

Yakınsak dizlerle ilgili pek çok teorem, sonsuza ıraksayan dizleri de kapsayacak biçimde ("Belirsizlik durumları dışında" ek koşulu ile) genelleştirilebiliyor.

Senin yazdığın sorudaki iddia, bunlardan birisi.