Ben de kanıtın (Doğan hocamınki ile aynı) formel şeklini ekleyeyim. Önce şu teoremi hatırlatalım.
Teorem: (X,d) metrik uzay, A⊆X ve x∈X olmak üzere
A=¯A⇔(∀⟨xn⟩∈AN)(xn→x⇒x∈A).
Şimdi de bu teoremi kullanarak asıl teoremi kanıtlayalım. Amacımız f[X] kümesinin (Y,d′) metrik uzayında kapalı bir küme olduğunu göstermek. Bunun için de üstteki teoremden faydalanacağız.
⟨yn⟩∈f[X]N (yani ⟨yn⟩, f[X]'de bir dizi), y∈Y ve yn→y olsun. (y∈f[X] olduğunu gösterirsek kanıt biter.)
⟨yn⟩∈f[X]Nf, izometri⇒f, birebir}⇒(∀n∈N)(∃!xn∈X)(yn=f(xn))
⇒(∀n,m∈N)(d′(yn,ym)=d′(f(xn),f(ym)))f, izometri}⇒
⇒(∀n,m∈N)(d′(yn,ym)=d(xn,xm))⟨yn⟩, yakınsak⇒⟨yn⟩, Cauchy dizisi}d∼d′⇒⟨xn⟩, Cauchy dizisi(X,d), tam uzay}⇒
⇒(∃x∈X)(xn→x)f, izometri⇒f, sürekli}⇒f(xn)→f(x)(∀n∈N)(yn=f(xn))(yn→y)}⇒y=f(x)∈f[X].
Not: d∼d′:d ile d′ denk.