Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

(X,d) ve (Y,d) iki metrik uzay, f:XY bir izometri  olsun.

(İzometri: x1,x2X için d(f(x1),f(x2))=d(x1,x2)

(X,d) bir tam metrik uzay ise f(X) in Y nin kapalı bir alt kümesi olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Ben de kanıtın (Doğan hocamınki ile aynı) formel şeklini ekleyeyim. Önce şu teoremi hatırlatalım.

Teorem: (X,d) metrik uzay, AX ve xX olmak üzere

A=¯A(xnAN)(xnxxA).


Şimdi de bu teoremi kullanarak asıl teoremi kanıtlayalım. Amacımız f[X] kümesinin (Y,d) metrik uzayında kapalı bir küme olduğunu göstermek. Bunun için de üstteki teoremden faydalanacağız.

ynf[X]N  (yani  yn, f[X]'de bir dizi),  yY  ve  yny olsun. (yf[X] olduğunu gösterirsek kanıt biter.)

ynf[X]Nf, izometrif, birebir}(nN)(!xnX)(yn=f(xn))


(n,mN)(d(yn,ym)=d(f(xn),f(ym)))f, izometri}

(n,mN)(d(yn,ym)=d(xn,xm))yn, yakınsakyn, Cauchy dizisi}ddxn, Cauchy dizisi(X,d), tam uzay}

(xX)(xnx)f, izometrif, sürekli}f(xn)f(x)(nN)(yn=f(xn))(yny)}y=f(x)f[X].


Not: dd:d ile d denk.

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme
<yn>, nN için ynf(X) olacak şekilde yakınsak bir dizi ve limnyn=y olsun. yf(X) olduğunu göstermek yeterlidir.
 <yn> yakınsak olduğu için, bir Cauchy dizisidir. nN için f(xn)=yn olacak şekilde ( f, 1-1 olduğu için tek) bir xnX vardır. 
f bir izometri olduğundan, n,mN için d(xn,xm)=d(yn,ym) olur. Buradan da <xn> dizisinin de bir Cauchy dizisi olduğu görülür (Neden?).
 X bir tam metrik uzay olduğundan limxn=x olacak şekilde (tek) bir xX vardır. 
f bir izometri olduğundan, aynı zamanda süreklidir (Neden?). 
Bu nedenle limnf(xn)=f(x) olur. 
Ama metrik uzaylarda (daha genel olarak Hausdorff uzaylarda) limitin tekliğinden, y=f(x) olmak zorundadır.
(6.2k puan) tarafından 
Bu sorudaki izometri olma koşulunu (çözümü fazla değiştirmeden) nasıl zayıflatabiliriz?
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,868 kullanıcı