Bu sorudaki izometri olma koşulunu (çözümü fazla değiştirmeden) nasıl zayıflatabiliriz?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
64 kez görüntülendi

$(X,d)$ ve $(Y,d')$ iki metrik uzay, $f:X\to Y$ bir ..... olsun.

$(X,d)$ bir tam metrik uzay ise $f(X)$ in $Y$ nin kapalı bir alt kümesi olduğunu gösteriniz.

Yukarıda boşluğa (izometri olmakdan daha zayıf bir koşul) ne yazabiliriz?

(Önceki problemdeki ispatı fazla değiştirmeye gerek olamayacak şekilde)


21, Mayıs, 21 Lisans Matematik kategorisinde DoganDonmez (4,081 puan) tarafından  soruldu
21, Mayıs, 21 DoganDonmez tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$f$ nin bir izometri olduğu 

1. $<y_n>$ bir Cauchy dizisi olduğunda ($f(x_n)=y_n$ olacak şekilde seçilen) $<x_n>$ dizisinin de bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek

2. $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ ise $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$ olduğunu göstermek 

için kullanılmaktadır. 

Birincisi için, (izometrideki eşitlik yerine)

Bir $\alpha\geq0$ için ($\forall x,x'\in X$ için) $d(x,x')\leq\alpha d'(f(x),f(x'))$ yeterlidir. 

(Daha azı bile, örneğin (süreklilikteki koşulun tersine benzeyen), $\forall\varepsilon>0$ için $d'(f(x),f(x'))<\delta$ iken $d(x,x')<\varepsilon$ olacak şekilde bir bir $\delta>0$ var olması yeterlidir)

İkincisi için ise, $f$ nin sürekli olması yeterlidir. 

Öyleyse, "$f$ bir izometri"  yerine bu koşullar yazılınca, aynı ispat, $f(X)$ in $Y$ de kapalı olduğunu gösterecektir.

28, Mayıs, 28 DoganDonmez (4,081 puan) tarafından  cevaplandı
...