Kümenin İki Elemanlı Alt Kümelerinin Kaçında Elemanlar Toplamı $n$'yi Geçmez?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
51 kez görüntülendi

$\{1,2,3,\cdots,n\}$ kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları toplamı $n$'den büyük değildir?

Ben şöyle yapmayı denedim:

Eğer $1$ elemanını alırsak $2$'den $n-1$'e kadar olan elemanları 2. eleman olarak seçebiliriz.

Eğer $2$ elemanını alırsak $3$'den $n-2$'e kadar olan elemanları 2. eleman olarak seçebiliriz

$\vdots$

Eğer $\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor$ elemanını alırsak $\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor+1$'den $n-\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor$'e kadar olan elemanları 2. eleman olarak seçebiliriz

Eleman sayılarını toplarsak:

$(n-2)+(n-4)+\cdots+n-2.\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor=n.\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\left(\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor+1\right)$

İşlemleri böyle yaptım ve sonucu

$=\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\left(n-\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor-1\right)$ buldum. Ama bu ifade yeteri kadar sade değil galiba buradan sonra nasıl devam edebilirim?


11, Mayıs, 11 Orta Öğretim Matematik kategorisinde emresafa (160 puan) tarafından  soruldu
11, Mayıs, 11 emresafa tarafından düzenlendi

İfade sade. n yerine 2k ve 2k+1 yazarak iki duruma da ayırabiliriz. 

Hocam $\forall n\in\mathbb{N^+}$ için $\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\left(n-\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor-1\right)=\left\lfloor\dfrac{\left(n-1\right)^2}{4}\right\rfloor$ bulunuyor. Bu ifade daha sade duruyor. Buna nasıl ulaşabiliriz?

Altkümeleri $(a,b)$ ile işaretleyelim. Bunlar $a+b<n$ ifadesini sağlamalı. Bu ifadeyi $a\circ b$ düzleminde ifade edersen, dik kenarları $n$ olan bir ikizkenar üçgen elde edilir. Bu üçgen içinde kalan noktaların sayısı olarak bakabilirsin. Aradığın gibi bir ifade gelmeli.

Hocam yorumunuzda bahsettiğiniz $a\circ b$ düzlemi neyi ifade ediyor?

$xy$ düzlemi var ya; onun aynısının tıpkısı. $a$ değerlerini yatay, $b$ değerlerini de dikey eksene yerleştirirsen $ab$ düzlemi olur bu sefer.

...