Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
813 kez görüntülendi

Her  n>1 tamsayısı için 1/2<1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)<3/4  olduğunu gösteriniz.

Toplamın 1/2 den büyük olduğunu göstermek kolay; toplamdaki her terim yerine 1/2n almak yeterli. Fakat diğer tarafı nasıl gösterebiliriz?

Lisans Matematik kategorisinde (3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 813 kez görüntülendi

İntegral kullanarak gösterilebilir.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Şöyle bir elemanter çözümü var:

1n+1n+1+...+12n=12[(1n+12n)+(1n+1+12n1)+...+(12n+1n)] =12[3n2n2+3n2n2+(n1)+3n2n2+2(n1)+...+3n2n2]   <12[3n2n2+3n2n2+3n2n2+...+3n2n2]=12(n+1)32n=34+14n<34+1n elde edilir ki bu da bizden istenendir.

(3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Koordinat düzleminde, köşeleri (n,0), (2n,0), (n,1n) ve (2n,12n) noktalarında olan dik yamuğu düşünelim.

Bu yamuğun alanı 34  olur.

Üst kenarın denklemi y=x2n2+32n dir. f(x)=x2n2+32n diyelim.

n<k2n tamsayılarını düşünelim. (2nk)(nk)0 oluşundan, düzenleyerek, f(k)1k elde edilir. Yani (k,1k) noktaları (k<2n için) y=x2n2+32n  doğrusunun altında kalır, k=2n için, bu doğrunun üzerindedir.

Tabanı [k1,k] doğru parçası, yüksekliği 1k (k=n+1,,2n)olan yanyana dikdörtgenler bu yamuğun içinde kalır (ve üst üste değildirler). Öyleyse onların alanları toplamı yamuğun alanını geçemez . (Bu dikdörtgenler ile yamuğun arasında, en soldaki dikdörtgenin üzerinde  bir yamuk vardır. Bu nedenle, dikdörtgenlerin alanları toplamı yamuğun alanına eşit olamaz)

 Öyleyse, dikdörtgenlerin alanları toplamı<Yamuğun alanı doğru olur.

Dikdörtgenlerin alanları toplamı 2nk=n+11k ve yamuğun alanı 34 olduğu için eşitlik gösterilmiştir.

Ek 1: f(k)>1k eşitsizliği şöyle de gösterilebilir:

g(x)=1x fonksiyonu (0,+) aralığında konveks (çünki g(x)>0) olduğundan y=1x eğrisi [n,2n] aralığında, uçlarında geçen kirişinin (y=x2n2+32n doğrusunun)  altında kalır.

Ek 2: İntegral ile kolayca 2nk=n+11k<ln2 olduğu görülür. ln2<34 olduğunu göstermek biraz uğraştırır. 

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

İntegral kullanarak o dizinin limitinin ln2 olduğu da görülüyor

20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,766 kullanıcı