"Universal Property" nedir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
609 kez görüntülendi

"Universal Property" nedir?

31, Mart, 2019 Akademik Matematik kategorisinde b4tuhan (31 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Tanımından değil de, anlamından bahsetmek istiyorum. Kategori kuramı matematiksel nesneleri anlamak bir nesneyi eline alıp bakmaz, onun diğer bütün nesnelerle olan ilişkilerine bakarak o nesne hakkında bilgi sahibi olmaya çalışır. Belki sınıftaki bir kişiyi ismi ile ya da karakteristik özellikleri ile değil de, kimlerin arkadaşı, kiminle iyi geçinir gibi bir takım bilgilerle belirlemeye çalışmaya benzetebiliriz.

Elimizde bir kategori olsun. Bu kategorideki özel bir nesneyi ve sadece onu tarif eden bir ilişkiler ağı bulabilirsek, o zaman o nesneyi tarif eden 'universal property'i bulmuş oluruz.

Örneğin kümeler ve aralarındaki fonksiyonlar kategorisine bakarsak, 'öyle bir küme ki, bu kümeden diğer her kümeye giden tek bir fonksiyon vardır' evrensel özelliğini boş kümenin sağladığını görürüz. Aynı özelliğe gruplar ve grup homomorfizmaları kategorisinde bakarsak, bu özelliğin sadece birim elemandan oluşan grup tarafından sağlandığını görürüz. Bu örnek üzerinden bu özelliği sağlayan tek bir nesne olmadığını, ama bunu sağlayan her nesnenin birbirine tek bir şekilde izomorf olduğunu da görebiliriz.

Yukarıda yazdığım evrensel özellik 'initial object' olmaya karşılık gelir. Evrensel özellik olarak karmaşık olmayan bir örnek. Kümeler ve fonksiyonlar kategorisinde $A$ ve $B$ kümeleri için $A\times B$ kümesini tarif eden evrensel özellik biraz daha karışıktır mesela.

13, Aralık, 2019 canozan (69 puan) tarafından  cevaplandı
14, Aralık, 2019 b4tuhan tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir kategoride:

 Her ... morfizması(ları)ları ve/veya nesneleri  için  ... olacak şekilde (tek) bir .... morfizması ve/veya nesnesi vardır.

Şeklindeki özelliklere evrensel özellik deniyor. Bu tür nesneler ve/veya  morfizmalar VARSA (esas olarak) tekdir.

Örnek:

$X,Y$  iki modül olsun.

Her $Z$  modülü ve her $f:X\to Z,\ g:Y\to Z$ morfizması için, 

($i:X\to X\oplus Y,\ j:Y\to X\oplus Y$  içerme homomorfizmaları olmak üzere)

$f=hi,\ g=hj$ olacak şekilde tek bir $h:X\oplus Y\to Z$ morfizması vardır .

Bu; direkt toplamın evrensel özelliğidir. 

Bu özelliğe sahip ($U,i,j)$ üçlülerindeki $U$ nun $X\oplus Y$ le özel tek bir izomorfizma ile izomorfik olduğu kolayca gösterilebilir

6, Nisan, 2019 DoganDonmez (4,350 puan) tarafından  cevaplandı

Ek:

http://matkafasi.com/108289/iki-topolojik-uzaydan-yeni-bir-topolojik-uzay-olusturmak

sorusu, topolojik uzaylar kategorisinde direkt toplamın varlığını göstermek amaçlıdır.

...