Önce X ve Y kümeleri ayrık iken çözelim.
Z=X∪Y olsun. Z üzerinde
τ3={A⊆Z: A∩X∈τ1 ve A∩Y∈τ2} bir topolojidir
i1:X→Z, i1(x)=x (∀x∈X), i2:Y→Z, i2(y)=y (∀y∈Y) fonksiyonlarının sürekli olduğu (ve görüntülerine homeomorfizma olduğu da) kolayca gösterilir.
f1:X→U, f2:Y→U sürekli fonksiyonları verilsin.
F:Z→U: F(t)={f1(t), t∈X isef2(t), t∈Y ise olarak tanımlayabiliriz. F∘i1=f1, F∘i2=f2 olduğu ve böyle bir fonksiyonun biricik oluşu, Z nin ve F nin tanımından aşikardır.
Her V∈τ4 için F−1(V)=f−11(V)∪f−12(V) olur. ( f1,f2 sürekli oldukları için) F−1(V)∩X=f−11(V)∈τ1 ve F−1(V)∩Y=f−12(V)∈τ2 olur, dolayısıyla F süreklidir.
Soru: X∩Y≠∅ olduğunu nere(ler)de kullandım?
X∩Y≠∅ ise X yerine X×{0}, Y yerine Y×{1} kullanarak benzer şekilde Z,i1,i2 ve F oluşturulur.