Question

$x\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$x-1<x$$ olduğunu kanıtlayınız.

Answer 1

Önceden  $0<1$ olduğunu kanıtlamıştık(bakınız). Eşitsizliğin her iki yanının negatif sayı ile çarpıldığında yön değiştirdiğini de bildiğimizden (bakınız)$$0>-1$$ yazabiliriz.Her iki tarafa $x$ reel sayısını eklediğimizde yön değiştirme olmayacağından (bu, $\mathbb{R}$ nin bir aksiyomudur) $$x>-1+x$$ olduğu görülür.

Answer 2

$$0<1$$$$\overset{(1)}\Rightarrow$$$$0\leq 1\wedge 0\neq 1$$$$\overset{(2)}\Rightarrow$$$$ 0\leq 1$$$$\overset{(3)}{\Rightarrow}$$$$ -1\leq -0$$$$\overset{(4)}{\Rightarrow}$$$$ -1\leq 0$$$$\overset{(5)}{\Rightarrow}$$$$ x+(-1)\leq x+0$$$$\overset{(6)}{\Rightarrow} $$$$x-1\leq x$$$$\overset{(7)}{\Rightarrow}$$$$x-1<x.$$

Geçişlerin gerekçeleri:

$(1)$ Tanım: $x<y:\Leftrightarrow (x\leq y\wedge x\neq y)$

$(2)$ Teorem: $[(p\wedge q)\Rightarrow p]\equiv 1$

$(3)$ Teorem: $x\leq y\Rightarrow -y\leq -x$

$(4)$ Teorem: $-0=0$

$(5)$ Teorem: TS aksiyomu (Bu linkte mevcut)

$(6)$ Tanım: $x-y:=x+(-y)$ ve $T_2$ aksiyomu

$(7)$ Teorem: $x\in\mathbb{R}\Rightarrow x-1\neq x$