$(X,d)$ metrik uzay ve $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ kesin artan bir fonksiyon olmak üzere $$(f(0)=0)(f(x+y)\leq f(x)+f(y))\Rightarrow f \circ d, \ X\text{'de metrik}$$ olduğunu gösteriniz

0 beğenilme 0 beğenilmeme
29 kez görüntülendi

 $(X,d)$  metrik uzay ve $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ kesin artan bir fonksiyon olmak üzere

$$(f(0)=0)(f(x+y)\leq f(x)+f(y))\Rightarrow f \circ d, \ X\text{'de metrik}$$ olduğunu gösteriniz.

13, Mart, 13 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,385 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$f\circ d=f(d(x,y))=d'(x,y)$  olsun.

i) $d'(x,y)=f(d(x,y))=0$ ise tanımdan $d(x,y)=0$   ve  $d$   metrik olduğundan  $x=y$


ii) $d$  metrik olduğundan   $d(x,y)=d(y,x) $  $$d'(x,y)=f(d(x,y))=f(d(y,x))=d'(y,x)$$


iii) $d(x,y)\ge0$   ve  $f$  artan ve konkav fonksiyon olduğundan   $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$   ise $$f(d(x,y))\le f(d(x,z)+d(z,y))\le f(d(x,z))+f(d(z,y))$$   $$d'(x,y)\le d'(x,z)+d'(z,y)$$  elde olunur. Dolayısıyla metrik aksiyomları sağlandığından $f\circ d$ ,    $X$  de bir metriktir.


15, Mart, 15 alpercay (1,622 puan) tarafından  cevaplandı
15, Mart, 15 alpercay tarafından düzenlendi
...