Geometrik dizilerin toplam formülünün ispatı

1 beğenilme 0 beğenilmeme
64 kez görüntülendi

$n\in\mathbb{N}$ ve $a\in\mathbb{R}$ olsun. O zaman ($a\neq1$ için)

$1+a^1+a^2+\cdots+a^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n a^k=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$ olduğunu biliyoruz. Klasikleşmiş denilebilecek ispatıda şöyle:

$1+a+a^2+\cdots+a^n=T$ olsun. Denklemi $a$ ile çarparsak

$a+a^2+a^3+\cdots+a^{n+1}=aT$ olur. Denklemleri taraf tarafa çıkartalım.

$1-a^{n+1}=T(1-a)$ 

$T=\dfrac{1-a^{n+1}}{1-a}=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$ bulunur.

Burdaki ispat dışında kanıtlamak için izleyebileceğimiz yöntemler var mı?

9, Şubat, 9 Orta Öğretim Matematik kategorisinde emresafa (138 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Tümevarım yöntemiyle gösterelim..

$P(n)=1+a+a^2+a^3+\cdots+a^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n a^k=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$ oldugunu tümevarım ispat yöntemiyle gösterelim..

$n=1$ için $1+a+a^2+a^3+......+a^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n a^k=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}$ doğrudur.(İstersen dene)

$n=t$ için $P(t)=1+a+a^2+a^3+\cdots+a^t=\displaystyle\sum_{k=0}^t a^k=\dfrac{a^{t+1}-1}{a-1}$ önermesinin doğru olduğunu kabul edelim..

$n=t+1$ için, $P(t+1)=1+a+a^2+a^3+\cdots+a^t+a^{t+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{t+1} a^k=\dfrac{a^{t+2}-1}{a-1}$ olduğunu gösterelim..


$1+a+a^2+a^3+\cdots+a^t=\displaystyle\sum_{k=0}^t a^k=\dfrac{a^{t+1}-1}{a-1}$ eşitliğin her iki tarafına $a^{t+1}$ ekleeyelim

$1+a+a^2+a^3+\cdots+a^t+a^{t+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{t+1} a^k=\dfrac{a^{t+1}-1}{a-1}+a^{t+1}$ buradaki işlemi denediğin zaman doğru olduğunu görebilirsin ... o halde $P(t+1)$ doğru olduğundan $P(n)$ önermesi doğru olur.
9, Şubat, 9 ysf.knt (193 puan) tarafından  cevaplandı
9, Şubat, 9 ysf.knt tarafından düzenlendi

Kucuk bir hata var gibi. Sence bu dogru mu?

image

Herkesten kaçar Euler den kaçmaz ...yanlış,  düzeltiyorum teşekkürler.

...