Kompakt Uzayların Karakterizasyonuna Dair-I

1 beğenilme 0 beğenilmeme
76 kez görüntülendi

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{B}\subseteq 2^X$ olmak üzere

$$\mathcal{B}, \ \tau \text{ için baz}$$

$$\Rightarrow$$

$$(X,\tau), \text{ kompakt uzay}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})[X=\cup\mathcal{A}\to (\exists\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A}^*)].$$

26, Aralık, 2018 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,494 puan) tarafından  soruldu
26, Aralık, 2018 murad.ozkoc tarafından yeniden gösterildi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Kanıt: $(\Rightarrow):$ $(X,\tau)$ kompakt uzay; $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$  ve  $X=\cup\mathcal{A}$  yani  $\mathcal{A}$  ailesi, $X$  kümesinin bir bazsal açık örtüsü olsun.

$\left.\begin{array}{rr}(\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(X=\cup\mathcal{A}) \\ \\ \mathcal{B}, \  \tau\text{ için baz}\Rightarrow \mathcal{B}\subseteq\tau  \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{rr} \\ \\ \left. \begin{array}{cc} (\mathcal{A}\subseteq \tau)(X=\cup\mathcal{A}) \\ \\ (X,\tau), \text{ kompakt uzay}\Rightarrow X, \ \tau \text{-kompakt}\end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$


$\Rightarrow (\exists\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A}^*).$


$(\Leftarrow):$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$  ve  $X=\cup\mathcal{A}$  yani  $\mathcal{A}$  ailesi, $X$  kümesinin bir açık örtüsü olsun.

$\left.\begin{array}{rr} (A\in \mathcal{A}\subseteq \tau)(X=\cup\mathcal{A}) \\ \\ \mathcal{B}, \  \tau\text{ için baz} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{rr} \\ \\ \left. \begin{array}{rr} (\exists \mathcal{B}_A\subseteq \mathcal{B})(A=\cup\mathcal{B}_A)(X=\cup\mathcal{A}) \\ \\ \mathcal{A}^*:=\cup\{\mathcal{B}_A|A\in\mathcal{A}\}\end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

 $\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{B})(X=\cup\mathcal{A}^*) \\ \\ \text{Hipotez}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}^{**}\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^{**}|<\aleph_0)(X=\cup\mathcal{A}^{**}).$

26, Aralık, 2018 murad.ozkoc (9,494 puan) tarafından  cevaplandı
26, Aralık, 2018 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

$f:\cal{A}^*\to\cal{A}\quad f$ $(B)= A,\quad (B\subseteq A,\ A\in\cal{A})$ olacak şekilde bir fonksiyon olmak üzere $\cal{A}^{**}=f(\cal{A}^{*})$ olmalı herhalde.

Evet hocam. Kanıtın son satırında bir düzenleme yapmam gerekiyor. Geniş bir zamanda düzenleyeceğim.
...