Sabit fonksiyon problemi

Question

Problem:

Negatif olmayan tam sayılarda tanımlı, $f$ fonksiyonu, her $x,y$ için,

$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2)$

eşitliğini sağladığına ve $f(99)=5$ olduğuna göre $f(100)$ kaça eşittir ?

Çözüm:

$xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2)$ denkleminde $x=0$ yazarsak, $yf(0)=yf(y^2)$ eşitliğinden, $f(y^2)=f(0)$

elde edilir. Bu ifadeden $f$ fonksiyonunun sabit bir fonksiyon olacağı düşünülebilir. Bu düşüncemizi ispatlamaya çalışalım. Bunun için $x\not=0$ ve $y\not=0$ olmak üzere, $f(x)<f(y)$ kabul edelim. Bu durumda,

$(x+y)f(x)<xf(y)+yf(x)<(x+y)f(y)$ olur. Böylece, $f(x)<f(x^2+y^2)<f(y)$ olur. Fakat bu mümkün değildir. Çünkü, benzer şekilde devam ederek $f(x)$ ve $f(y)$ değerleri arasında sonsuz sayıda farklı değer bulunur. Fakat $f(1)=f(0)$ . Böylece  her $x>1$ için, $f(x)=f(1)$ olur. Dolayısıyla $f$ sabit fonksiyondur ve $f(100)=f(99)=5$ olur.

Benim sorum şu biz $f$ fonksiyonunun sabit bir fonksiyon olduğunu ispatlamaya çalışırken $f(x)<f(y)$ varsayımından sonra $f(x)$ ile $f(y)$ arasında sayı olduğunu gösterdik. Fakat bu $f$ fonksiyonunu neden sabit yapıyor ? Örneğin $f(x)=16$ ve $f(y)= 9$ olsun. $f(x)$ ile $f(y)$ arasındaki değerler $10,11,12,13,14,15$ olacak ama bu $f$ fonksiyonunu neden sabit yapıyor ? Cevaplarınız için şimdiden teşekkür ediyorum.

Comments

Senin de farkettiğin gibi, bu şekilde devam ederek $f(x)$ ile $f(y)$ arasında sonsuz tane tamsayı oluşturabiliriz. Ama  $f(x)$ ile $f(y)$ arasında sonlu çoklukta tamsayı vardır. 

Örneğin senin verdiğin örnekte, bu işlemi en çok 6 kez (bu sayı  bir sonraki ikiliyi nasıl seçeceğimize bağlı) yapabiliriz.

 Daha açıkça:

$f(x_0)<f(y_0)$ olsun.  ($x=x_0,\ y=y_0$)

O zaman $x_1=x_0=x,\ y_1=x_0^2+y_0^2$ alalım. (Aynı şekilde) 

$f(x)<f(y_1)<f(y)$ olur.

$x_2=x_1=x,\ y_2=x_1^2+y_1^2$ alalım. (Aynı şekilde) 

$f(x)<f(y_2)<f(y_1)<f(y)$ olur. 

$x_3=x_2=x,\ y_3=x_2^2+y_2^2$ alalım. (Aynı şekilde) 

$f(x)<f(y_3)<f(y_2)<f(y_1)<f(y)$ olur. 

Bu şeklide devam ederek $f(x)$ ile $f(y)$ arasında sonsuz çoklukta doğal sayı bulmuş oluruz.  

Ama bu imkansız.

Öyleyse $\forall x,y\in\mathbb{N}$ için $f(x)=f(y)$ olmalıdır.

---

Peki hocam biz $f(x)$ ve $f(y)$ arasında sonsuz çoklukta sayı olmadığını nerden biliyoruz ? Sonsuzu sayı gibi kullanmak hatalı ama aksi takdirde kendimi ifade edemeyeceğim için kullanıyorum. $f(x)=-\infty$ ve $f(y)=\infty$ olsun. O zaman $f(x)$ ve $f(y)$ arasında sonsuz çoklukta sayı bulunamaz mı ?

---

Fonksiyonun aldığı değerlerin tamsayı olacağını varsaydım ama senin yazdığında bu var olmadığını şimdi farkettim. İki tamsayı arasında sonlu sayıda tamsayı vardır. ($f(y)=\infty$ olamaz, sonsuz bir sayı değil)

Sorunu tam metnini (ve nerede sorulduğunu-tanıdık geldi sanki) yazabilir misin?

---

Hocam soruda problemin tam metni yazılı. Mustafa Özdemir'in Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 kitabında ki 14. örnek, soruda yazdığım çözümde zaten kitabın çözümü ben çözememiştim soruyu. Sizin "iki tamsayı arasında sonlu sayıda sayı vardır." demenizi de anlamadım gibi, bu tamsayılar sonsuza gitseler aralarında ki sayılar yine de sonsuz olmaz mı ?

---

1. Kitaptaki çözüm bu ise, o zaman,  sorunun başlangıcındaki

"Negatif olmayan tam sayılarda tanımlı, f fonksiyonu" 

ifadesinden, yazarın da, benim varsaydığım gibi:

$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ 

kastetmiş olduğunu düşünüyorum.

2. Ben "iki tamsayı arasında sonlu sayıda sayı vardır." demedim,

"İki tamsayı arasında sonlu sayıda tamsayı vardır." dedim.

---

Evet hocam yanlış yazmışım. Siz

"İki tamsayı arasında sonlu sayıda tamsayı vardır." 

Demişsiniz. Ama bu sorumu yine değiştirmiyor. Bu tamsayılar sonsuzluğa gitseler dahi aralarında sonlu sayıda mı olur ? Sonsuzluğa gidebilirler mi ? Sonsuzluğa gidebiliyorlarsa bu sayıları tamsayı yapabilir miyiz ? 

---

"Bu tamsayılar sonsuzluğa gitseler " artık sayı olmazlar.

Sonsuz diye bir (tam, doğal rasyonel, reel) sayı  yoktur. 

(Sonsuzu da içeren bir "sayı" sistemi kurulabilir ama bildiğimiz bazı şeylerden vazgeçmek zorundayız)

Sonsuzu limit durumu dışında kullanırsak çok şey değişir. 

Burada iki (belirli )  doğal (elbette sonlu, çünkü sonsuz diye bir doğal sayı yok) sayı arasındaki doğal sayılar söz konusu. 

Sonsuz  maalesef yanlış anlaşılan bir terim. Bazan sonsuz küme kavramı ile karıştırılıyor.