32n+28 şeklindeki tamsayılar 3 tam karenin toplamı olamaz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
83 kez görüntülendi

$32n+28$ ($n\in\mathbb{N}$) şeklindeki tamsayıların, 3 tamsayının  karenin toplamı olamayacağını gösteriniz.

(alperçay ın Şuradaki (yorumda) tahmini ile ilgili.) 

29, Kasım, 29 Orta Öğretim Matematik kategorisinde DoganDonmez (3,711 puan) tarafından  soruldu
29, Kasım, 29 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Doğan Hocam iddiamız $4^n(8k+7)$ şeklinde revize etmeliyiz çünkü listedeki $112$ ve $240$ sayıları $4^2(8k+7)$ formunda yazılıyor. 


Alper bey, yukarıdaki iddia doğrudur. Problem, ''Üç karenin toplamı biçiminde yazılamayan her pozitif tamsayı $32n + 28$ biçimindedir'' demiyor. Bu kalıba uymayan başka değerler de vardır.

Lokman Bey, iddiayı genel halde ifade etmeye çalışıyorum ; $n=0$ iken  iddiamız $8k+7$ şeklinde iken $n=1$ durumunda $32k+28$ şeklinde olup doğrudur ki gösterdiniz. $4^n(8k+7)$ formundaki her doğal sayı üç karenin toplamı olamaz diye bir sanıda bulunuyorum. 

Şimdi anladım Alper bey, teşekkürler. Bu dediğiniz çok daha genel (ve muhtemelen çözümü daha zor) bir durumu ifade ediyor. İsterseniz iddianızı yeni bir başlık altında sorunuz. Yeniden deneyelim.

Literatüre bakmadım ama büyük ihtimalle bu çözülmüş bir problemdir. Yine de soralım sitede bulunsun. 

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Bir $x$ tamsayısı için $x^2 \equiv 0, 1, 4, 9, 16, 25, 17 \pmod{32} $ kalanları elde edilebiliyor. Buna göre $x^2 + y^2 + z^2$ için bu kalanların tüm kombinasyonlarını deneyerek $$x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0, 1, 2, 3 , 4, 5 , 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, \\21, 22, 24, 25, 26, 27, 29, 30 \pmod{32}$$ elde edilebiliyor.

Diğer bir deyişle $$ x^2 + y^2 + z^2 \not \equiv 7, 15, 23, 28, 31 \pmod{32} $$ olmaktadır. Böylece $32n + 28$ ($n \in \mathbb N$ ) biçimindeki sayılar üç tamsayının karelerinin toplamı biçiminde ifade edilemez.


Bununla beraber bu sonuç, $7,15,23,28,31$ dışındaki diğer kalanları veren pozitif tam sayıların üç tam sayının karelerinin toplamı biçiminde ifade edilebileceği anlamına gelmez. Nitekim, $112 \equiv 16 \pmod{32}$ olduğu halde $x^2 + y^2 + z^2 \neq 112 $ dir.

29, Kasım, 29 lokman gökçe (507 puan) tarafından  cevaplandı
30, Kasım, 30 lokman gökçe tarafından düzenlendi

Sorunun genelleme denemesi için İlgili soru

Hocam 8. satırdaki  $mod(28)$ yerine $mod(32)$ olacak sanıyorum.

...