Her metrik uzayın bir regüler uzay olduğunu gösteriniz.

Question

$(X,d), \text{ metrik uzay} \Rightarrow (X,\tau_d), \text{ regüler uzay}$

Not: $\tau_d :=\{A|A, (X,d)\text{'de açık}\}$

Answer 1

Kanıt: $x\notin F\in \mathcal{C}\left( X,\tau \right)$ olsun.

$\left.\begin{array}{r}x\notin F\in \mathcal{C}\left( X,\tau \right) \Rightarrow d(x,F)>0 \\  \\ U:=\bigcup_{y\in F}B\left(y,\frac{d(x,F)}{2}\right) \\ \\  V:=B\left(x,\frac{d(x,F)}{2}\right)\end{array}\right\} \Rightarrow $

 

$\Rightarrow \left( U\in \mathcal{U}\left( F\right) \right) \left( V\in\mathcal{U}\left( x\right) \right) \left( U\cap V=\emptyset \right)$

 

Bu $U$ ve $V$ açık komşulukları -oluşturuluşları gereği- ayrıktır. Şöyle ki:

$U\cap V\neq \emptyset$

olduğunu varsayarsak

$U\cap V\neq \emptyset\Rightarrow (\exists z\in X)(z\in U\cap V)$

$\Rightarrow (z\in U)(z\in V)$

$\Rightarrow (\exists y\in F)\left(z\in B\left(y,\frac{d(x,F)}{2}\right)\right)\left(z\in B\left(x,\frac{d(x,F)}{2}\right)\right)$

$\Rightarrow \left(d(y,z)<\frac{d(x,F)}{2}\leq\frac{d(x,y)}{2}\right)\left(d(x,z)<\frac{d(x,F)}{2}\leq\frac{d(x,y)}{2}\right)$

$\Rightarrow d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)<\frac{d(x,y)}{2}+\frac{d(x,y)}{2}=d(x,y)$

$\Rightarrow d(x,y)<d(x,y)$

çelişkisi elde edilir.