Üçüz asalların sonlu olduğunu gösteriniz

1 beğenilme 0 beğenilmeme
70 kez görüntülendi

Üçüz asalların sonlu olduğunu gösteriniz. İlgili soru

16, Kasım, 16 Orta Öğretim Matematik kategorisinde alpercay (1,303 puan) tarafından  soruldu
16, Kasım, 16 alpercay tarafından düzenlendi

Aralarında ikişer fark olan asallar. $3,5,7$ gibi. Sonlu sayıdalar mıymış? İlginç. Bu üçlüler sonsuz sayıda olsalardı yine de ilginç bir problem olurdu. İşin içinde asal sayı var sonuçta.

Üçüz asal sayılar mantık kurulduğunda sonlu olmalıdır. Örneğin 87-89-91 sayı üçlüsü asal üçüzdür zaten 0-100 arasında yalnızca 2 grup asal üçüz vardır (3-5-7) (87-89-91) bu sayılar ardışık olarak katlar şeklinde alındığında (örneğin 8989 ve 8991 gibi) aradaki farklar birbirini tamamlayacak her ne kadar 8989 asal olsa da 8991 3 sayısına bölünecek ve bu durum da bize asal üçlülerin sonlu olduğunu gösterecektir.

91 sayısı asal değil. Evet ortak farkı 2 olan ardışık 3 sayıdan biri 3 e bölünüyor.İlginç geliyor bana ikiz asalların sonlu olup olmadığını bilemiyoruz ama üçüz asallar sonlu hatta bir tane. 

madamatematik için düzeltme: $87,89,91$ üçüz asal olmaz. $91=7\cdot 13$ olup asal değildir. Öte taraftan çözümünüzü, sezgiye dayalı bir yorum olarak değerlendiriyorum. ''Açık bir ispat verildiği'' konusunda hemfikir değiliz maalesef.

Evet cevabınızı yoruma dönüştürmelisiniz. 

Hem de sadece bir tane var.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Üçüz asallarımız $p , p+2, p+4$ olsun. $p=3$ ise $3,5,7$ çözümünü elde ediyoruz. $p>3$ olsun. Bu halde ya $p=3k+1$ ya da $p=3k+2$ formundadır. ($k\in \mathbb Z^+$)

  • Eğer $p=3k+1$ ise $p+2=3k+3=3(k+1)$ olup bileşik sayı elde edilir, çelişki.
  • Eğer $p=3k+2$ ise $p+4=3k+6=3(k+2)$ olup bileşik sayı elde edilir, çelişki.

Dolayısıyla $p>3$ için çözüm yoktur. İspat tamamlanmıştır.
16, Kasım, 16 lokman gökçe (507 puan) tarafından  cevaplandı

Butun asal sayilarin $p=3k+1$ veya $p=3k+2$ formunda oldugunu mu iddia ediyorsunuz? Bunun ayrica ispati gerekmez mi?

Bariz olduğunu düşünerek daha fazla açıklama yazmamıştım. Biraz daha ekleme yapalım:

Herhangi bir tam sayının $3$ ile bölümünden kalan $0,1,2$ den biri olabilir. $3$ ten büyük bir asal sayı için $3$ ile bölümünden kalanın $0$ olması imkansızdır. Çünkü böyle bir şey o sayının $3$ ile tam bölünmesi demektir. O halde $3$ ile bölümünden ya $1$ kalanı verecektir, ya da $2$ kalanı verecektir. Bunlar da $3k+1$ ya da $3k+2$ formunda olabileceğini gösterir.

Üstelik bu durum sadece $3$ e has değildir. Örneğin $6$ dan büyük tüm asal sayılar ya $6k+1$ ya da $6k+5$ formunda olmalıdır. $k\in \mathbb Z^+$ için $6k, 6k +2, 6k+3, 6k+4 $ biçiminde asal sayı olamaz. Çünkü bu sayılar sırasıyla $6,2,3,2$ ile tam bölünüyor.
...