Question

$\displaystyle\int_0^\infty \frac{\text{sin}x}{x} dx=?$

Answer 1

Yukarıdaki çözümdeki

$$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\cos x}{x}dx$$
ıraksak olduğundan
$$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{ix}}{x}dx$$
integrali de ıraksaktır (kontür integral tekniği dikkatli kullanılmalıdır).

Bu çözümde

$$\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$$
eşitliğini Reel analiz metodları ile gösterelim. Kullanacağımız bilgiler:

1) Riemann-Lebesque lemması : $f$, $\left( a,b\right)$ aralığında integrallenen ise,
$$\lim_{p\rightarrow \infty }\int_{a}^{b}f\left( x\right) \sin pxdx=0.$$

2) $\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+...+\cos nx=\frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}% x\right) }{2\sin \frac{x}{2}}.$

Sonuncu eşitlikten, her $n\in \mathbb{N}$ için

$$\int_{0}^{\pi }\frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}x\right) }{2\sin \frac{x}{2}}% dx=\frac{\pi }{2}$$
elde edilir.

Ayrıca
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}$$

fonksiyonunun $\left( 0,\pi \right)$ aralığında integrallenen olduğu kolayca görülür.

Riemann-Lebesque lemmasına göre,

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{\pi }\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}\right) \sin \left( \frac{2n+1}{2}x\right) dx=0$$

olur. Buradan

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{\pi }\frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}% x\right) }{x}dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{\pi }\frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}x\right) }{2\sin \frac{x}{2}}dx=\frac{\pi }{2}$$

çıkar (son eşitliği yukarıda hesaplamıştık). Şimdi $y=\frac{2n+1}{2}x$ dersek,

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{\frac{2n+1}{2}\pi }\frac{\sin y}{y}dy=\frac{\pi }{2}$$
buradan da

$$\int_{0}^{\infty }\frac{\sin y}{y}dy=\frac{\pi }{2}$$
bulunur.

Not: Söz konusu integral birçok kaynakta Laplace dönüşümü yardımıyla formal olarak hesaplanır, fakat uygulanan metod pürüzlüdür.

Answer 2

$\frac{\sin x}{x}$ fonksiyonu çift olduğundan $$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$$ dir. $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\Im{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x}dx}$$ ve kompleks kontür integrasyon tekniği ile $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x}dx=i\pi$$ olarak bulunduğundan $$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$$ dir.