Galois ve Abel'in çalışmalarıyla genel halde beşinci dereceden polinom denklemlerin köklerini veren formüllerin radikaller (köklü ifadeler) yardımıyla verilemeyeceğini ve böyle formüller bulmaya çalışmanın boşuna olduğunu biliyoruz.
Yani $ax^2 + bx + c = 0 $ ikinci derece denkleminde kökler $a,b,c$ türünden $x=\dfrac{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ bulunabiliyor ve bu katsayılar köklü ifadeler içinde bulunacak biçimde yazılabiliyor. Beşinci derece denklemlerde ise böyle bir şey yazılamıyor. İspatları bilmiyorum ama teorinin ismini Galois Teorisi olarak biliyorum.
Benim sorum şu: Acaba $\pi$, $e$ gibi transtandart sayıları içeren, ya da bunlarla ilgili olacak biçimde trigonometrik fonksiyonları içeren beşinci dereceden polinom denklemi çözen genel formüller var olabilir mi? Bunu düşünmeme sebep olan şey; teori radikaller içeren bir formül yoktur diyor, öyle değil mi? Örneğin $x=\sin (\dfrac{b\pi}{5a}) + \sqrt[5]{d^2c^3 - 7ab^4} \dots $ gibi bir formül vardır belki. Fakat teori bunu destekleyecek veya çürütecek bir şey söylemiyor. Dolayısıyla beşinci dereceden denklemleri çözen genel formülleri bulma problemi tamamen kapanmamış olabilir diye düşünüyorum.
Cevaplarınız ve yorumlarınız için şimdiden teşekkürler.