Beşinci Dereceden Polinom Denklemlerin Kök Formülleri

0 beğenilme 0 beğenilmeme
93 kez görüntülendi

Galois ve Abel'in çalışmalarıyla genel halde beşinci dereceden polinom denklemlerin köklerini veren formüllerin radikaller (köklü ifadeler) yardımıyla verilemeyeceğini ve böyle formüller bulmaya çalışmanın boşuna olduğunu biliyoruz.

Yani $ax^2 + bx + c = 0 $ ikinci derece denkleminde kökler $a,b,c$ türünden $x=\dfrac{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ bulunabiliyor ve bu katsayılar köklü ifadeler içinde bulunacak biçimde yazılabiliyor. Beşinci derece denklemlerde ise böyle bir şey yazılamıyor. İspatları bilmiyorum ama teorinin ismini Galois Teorisi olarak biliyorum.


Benim sorum şu: Acaba $\pi$, $e$ gibi transtandart sayıları içeren, ya da bunlarla ilgili olacak biçimde trigonometrik fonksiyonları içeren beşinci dereceden polinom denklemi çözen genel formüller var olabilir mi? Bunu düşünmeme sebep olan şey; teori radikaller içeren bir formül yoktur diyor, öyle değil mi? Örneğin $x=\sin (\dfrac{b\pi}{5a}) + \sqrt[5]{d^2c^3 - 7ab^4} \dots $ gibi bir formül vardır belki. Fakat teori bunu destekleyecek veya çürütecek bir şey söylemiyor. Dolayısıyla beşinci dereceden denklemleri çözen genel formülleri bulma problemi tamamen kapanmamış olabilir diye düşünüyorum.

Cevaplarınız ve yorumlarınız için şimdiden teşekkürler.

1, Kasım, 1 Akademik Matematik kategorisinde lokman gökçe (408 puan) tarafından  soruldu

Wikipedia'yı inceleyin derim: https://en.0wikipedia.org/wiki/Quintic_function

Yukarıdaki link in içinde soru ile daha doğrudan ilişkili olarak Şurası var.

Askold Khovanskii'nin Topological Galois Theory diye bir kitabı var. Kitabı indiremedim şu an. Ama orada olması lazım tam olarak senin sorduğun sorunun cevabının.

...