Topoloji Elde Etme Yöntemleri-II

0 beğenilme 0 beğenilmeme
32 kez görüntülendi

$X\neq \emptyset$ küme olmak üzere $\mathcal{M}:X\to 2^{(2^X)}$ fonksiyonu her $x\in X$ için


$N_1)$ $\mathcal{M}(x)\neq \emptyset,$ $A\in \mathcal{M}(x)\Rightarrow x\in A$

$N_2)$ $(A\in \mathcal{M}(x))(A\subseteq B)\Rightarrow B\in\mathcal{M}(x)$

$N_3)$ $A,B\in \mathcal{M}(x)\Rightarrow A\cap B\in \mathcal{M}(x)$

$N_4)$ $A\in \mathcal{M}(x)\Rightarrow (\exists B\in \mathcal{M}(x))(B\subseteq A)(\forall y\in B)(B\in \mathcal{M}(y))$

koşullarını sağlasın.

$\mathbf{a)}$ $\mathcal{M}$ fonksiyonu $N_1, N_2$ ve $N_3$ koşullarını sağladığında $X$ kümesinin $$\forall x(x\in A\to A\in\mathcal{M}(x))$$ koşulunu sağlayan tüm altkümelerinin oluşturduğu ailenin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. $($Yani $\tau =\left\{A|\forall x(x\in A\to A\in\mathcal{M}(x))\right\}\subseteq 2^X$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.$)$

$\mathbf{b)}$ $\mathcal{M}$ fonksiyonu $N_1, N_2$ ve $N_3$ koşullarına ilave olarak $N_4$ koşulunu da sağladığında $\mathcal{M}(x)=\mathcal{N}(x)$  $(a$ şıkkında elde edilen $\tau$ topolojisine göre) olduğunu gösteriniz.
27, Ekim, 2018 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,114 puan) tarafından  soruldu
1, Ocak, 1 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

$a)$  $T_1)$ $\emptyset,X\overset{?}{\in}\tau$

$$\forall x(x\in \emptyset\to \emptyset\in\mathcal{M}(x))\equiv 1$$ yani 

$$\forall x(x\in \emptyset\to \emptyset\in\mathcal{M}(x))$$ önermesi doğru olduğundan $$\emptyset\in \tau$$ olur.

$x\in X$  olsun.

$$x\in X\overset{N_1}{\Rightarrow} \mathcal{M}(x)\neq \emptyset\Rightarrow(\exists A\subseteq X)(A\in\mathcal{M}(x))\overset{N_2}{\Rightarrow} X\in\mathcal{M}(x)$$ olduğundan $$X\in \tau$$ olur.

$T_2)$ $A,B\in\tau$  ve  $x\in A\cap B$  olsun.

$$\left.\begin{array}{rr} x\in A\cap B\Rightarrow (x\in A)(x\in B) \\ \\ A,B\in\tau \end{array}\right\}\Rightarrow A,B\in\mathcal{M}(x)\overset{N_3}{\Rightarrow} A\cap B\in\mathcal{M}(x).$$

$T_3)$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$  ve  $x\in \cup\mathcal{A}$  olsun.

$$\left.\begin{array}{rr} x\in \cup\mathcal{A}\Rightarrow (\exists A\in\mathcal{A})(x\in A) \\ \\ \mathcal{A}\subseteq \tau \end{array}\right\}\Rightarrow (A\subseteq \cup\mathcal{A})(A\in\mathcal{M}(x))\overset{N_3}{\Rightarrow} \cup\mathcal{A}\in\mathcal{M}(x).$$

...