Topoloji Elde Etme Yöntemleri-II

0 beğenilme 0 beğenilmeme
22 kez görüntülendi

$X\neq \emptyset$ küme olmak üzere $\mathcal{M}:X\to 2^{(2^X)}$ fonksiyonu her $x\in X$ için


$N_1)$ $\mathcal{M}(x)\neq \emptyset,$ $A\in \mathcal{M}(x)\Rightarrow x\in A$

$N_2)$ $(A\in \mathcal{M}(x))(A\subseteq B)\Rightarrow B\in\mathcal{M}(x)$

$N_3)$ $A,B\in \mathcal{M}(x)\Rightarrow A\cap B\in \mathcal{M}(x)$

$N_4)$ $A\in \mathcal{M}(x)\Rightarrow (\exists B\in \mathcal{M}(x))(B\subseteq A)(\forall y\in B)(B\in \mathcal{M}(y))$

koşullarını sağlasın.

$\mathbf{a)}$ $\mathcal{M}$ fonksiyonu $N_1, N_2$ ve $N_3$ koşullarını sağladığında $X$ kümesinin $$(\forall x\in A)(A\in\mathcal{M}(x))$$ koşulu sağlayan tüm altkümelerinin oluşturduğu ailenin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. $($Yani $\tau =\left\{A|(\forall x\in A)(A\in\mathcal{M}(x))\right\}\subseteq 2^X$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.$)$

$\mathbf{b)}$ $\mathcal{M}$ fonksiyonu $N_1, N_2$ ve $N_3$ koşullarına ilave olarak $N_4$ koşulunu da sağladığında $\mathcal{M}(x)=\mathcal{N}(x)$  $(a$ şıkkında elde edilen $\tau$ topolojisine göre) olduğunu gösteriniz.
27, Ekim, 27 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (8,972 puan) tarafından  soruldu
...