a) τ ailesinin topoloji olma koşullarını sağladığını gösterelim.
T1) i(X)I1=X⇒X∈τ.
i(∅)I2⊆∅i∈(2X)(2X)⇒i(∅)∈2X⇒∅⊆i(∅)}⇒i(∅)=∅⇒∅∈τ.
T2) A,B∈τ olsun.
A∈τ⇒i(A)=AB∈τ⇒i(B)=B}⇒A∩B=i(A)∩(B)I3=i(A∩B)⇒A∩B∈τ.
T3) A⊆τ olsun.
A∈A⊆τ⇒i(A)=A⊆⋃A∈AA=⋃A⇒A=i(A)∗⊆i(⋃A)⇒⋃A⊆i(⋃A)…(1)
A⊆τ⇒⋃A∈2XI2⇒i(⋃A)⊆⋃A…(2)
(1),(2)⇒i(⋃A)=⋃A⇒⋃A∈τ.
(∗):A⊆B⇒A∩B=A⇒i(A∩B)=i(B)I3⇒i(A)∩i(B)=i(B)⇒i(A)⊆i(B).
O halde τ ailesi, X kümesi üzerinde bir topoloji yani (X,τ) ikilisi bir topolojik uzaydır.
b) Şimdi de i(A)=A∘ yani A:={B|(B⊆A)(B∈τ)} olmak üzere i(A)=∪A olduğunu yani i(A)=maxA olduğunu gösterelim. Bunun için i(A)∈A ve (∀B∈A)(B⊆i(A)) olduğunu göstermemiz gerekir.
A∈2XI2⇒i(A)⊆Ai(i(A))I4=i(A)⇒i(A)∈τ}⇒i(A)∈A…(3)
B∈A⇒(B⊆A)(B∈τ)∗⇒B=i(B)⊆i(A)…(4)
(3),(4)⇒i(A)=maxA.
Not: Buradaki maksimum (2X,⊆) posetine göre hesaplanmaktadır.