Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi
X küme olmak üzere i:2X2X fonksiyonu her A,B2X için

I1) i(X)=X

I2) i(A)A

I3) i(AB)=i(A)i(B)

I4) i(i(A))=i(A)

koşullarını sağlasın.

a) i fonksiyonu I1,I2 ve I3 koşullarını sağladığında X kümesinin i(A)=A koşulu sağlayan tüm altkümelerinin oluşturduğu ailenin X kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. Yani τ={AX:i(A)=A}2X ailesinin X kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

b) i fonksiyonu I1,I2 ve I3 koşullarına ilave olarak I4 koşulunu da sağladığında i(A)=A  (a şıkkında elde edilen τ topolojisine göre) olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
i(A):=Xi(XA) kuralı ile verilen i:2X2X fonksiyonu bir Kuratowski Kapanış Operatörü olup τ:={A|i(XA)=XA}=τ dır.
(159 puan) tarafından 
i operatörünün Kuratowski kapanış operatörü olduğunu gösteriniz.
1 beğenilme 0 beğenilmeme

a) τ ailesinin topoloji olma koşullarını sağladığını gösterelim.

 

T1) i(X)I1=XXτ.

i()I2i(2X)(2X)i()2Xi()}i()=τ.

 

T2) A,Bτ olsun.

Aτi(A)=ABτi(B)=B}AB=i(A)(B)I3=i(AB)ABτ.

 

T3) Aτ olsun.

AAτi(A)=AAAA=AA=i(A)i(A)Ai(A)(1)

 

AτA2XI2i(A)A(2)

 

(1),(2)i(A)=AAτ.

 

():ABAB=Ai(AB)=i(B)I3i(A)i(B)=i(B)i(A)i(B).

 

O halde τ ailesi, X kümesi üzerinde bir topoloji yani (X,τ) ikilisi bir topolojik uzaydır.

 

b) Şimdi de i(A)=A yani A:={B|(BA)(Bτ)} olmak üzere i(A)=A olduğunu yani i(A)=maxA olduğunu gösterelim. Bunun için i(A)A ve (BA)(Bi(A)) olduğunu göstermemiz gerekir.

A2XI2i(A)Ai(i(A))I4=i(A)i(A)τ}i(A)A(3)

 

BA(BA)(Bτ)B=i(B)i(A)(4)

 

(3),(4)i(A)=maxA.

 

Not: Buradaki maksimum (2X,) posetine göre hesaplanmaktadır.

(11.5k puan) tarafından 
20,299 soru
21,845 cevap
73,549 yorum
2,757,324 kullanıcı