Kompakt Tümleyenler Topolojisi

0 beğenilme 0 beğenilmeme
34 kez görüntülendi

$X$ sonsuz bir küme ve $(X,\tau)$ Hausdorff uzayı olmak üzere $$\tau^*:=\{X\setminus A|(A\subseteq X)(A, \ \tau\text{-kompakt})\}\cup \{\emptyset\}\subseteq 2^X$$ ailesi, $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. Bu topolojiye $X$ kümesi üzerindeki kompakt tümleyenler topolojisi (the complement finite topology) denir.

29, Haziran, 29 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (8,874 puan) tarafından  soruldu
11, Temmuz, 11 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\mathbf{1)} \ \emptyset\in\tau^*$ (Tanımdan)

$\left.\begin{array}{rr}(\emptyset \subseteq X)(\emptyset, \ \tau\text{-kompakt})\Rightarrow X\setminus\emptyset\in\tau^*\\ \\ X\setminus \emptyset =X\end{array}\right\}\Rightarrow X\in\tau^*.$

$-----------------------------------$

$\mathbf{2)}$ $A,B\in \tau^*$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}A\in \tau^*\Rightarrow (\exists U\subseteq X)(U, \ \tau\text{-kompakt})(A=X\setminus U) \\ \\ B\in \tau^*\Rightarrow (\exists V\subseteq X)(V, \ \tau\text{-kompakt})(B=X\setminus V)\end{array}\right\}\overset{?}{\Rightarrow}$

$\Rightarrow (U\cup V\subseteq X)(U\cup V, \ \tau\text{-kompakt})(A\cap B=(X\setminus U)\cap (X\setminus V)=X\setminus (U\cup V))$

$\Rightarrow A\cap B\in \tau^*.$

$-----------------------------------$

$\mathbf{3)}$ $\mathcal{A}\subseteq\tau^*$ olsun. $(\emptyset\notin\mathcal{A}$ olduğunu varsaymamızda bir sakınca yok. Neden$?)$

$\left.\begin{array}{rr}\mathcal{B}:=\{B|A\in\mathcal{A}\Rightarrow (\exists B\subseteq X)(B,\ \tau\text{-kompakt})(A=X\setminus B)\} \\ \\ (X,\tau),  \text{ Hausdorff }\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\overset{(1),(2)}\Rightarrow \left(\bigcap\mathcal{B}, \ \tau\text{-kompakt}\right)\left(\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\bigcup_{B\in\mathcal{B}}\left( X\setminus B\right)=X\setminus \left(\bigcap_{B\in\mathcal{B}} B\right)=X\setminus \left(\bigcap\mathcal{B}\right)\right)$

$\Rightarrow \bigcup\mathcal{A}\in\tau^*.$
3, Temmuz, 3 murad.ozkoc (8,874 puan) tarafından  cevaplandı
11, Temmuz, 11 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

(1) ve (2) nolu gerekçelere rakamların üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz. Soru işaretinin gerekçesine de buradaki linkten ulaşabilirsiniz.

Aşağıdaki aile topoloji olur mu?
...