$\pi$, içinde $e$ gibi ve kendisi ($\pi$) gibi transandental veya irrasyonel sayıları barındırabilir mi? - Matematik Kafası

$\pi$, içinde $e$ gibi ve kendisi ($\pi$) gibi transandental veya irrasyonel sayıları barındırabilir mi?

3 beğenilme 0 beğenilmeme
169 kez görüntülendi

Örneğin eğer $\pi$ devretmeyen sonsuz basamaklı olduğu için  öyle bir sonlu basamaktan sonra $\pi$'nin basamakları gene $\pi$ içinde olabilir mi? Eğer olsaydı rasyonel olurdu, çelişki$^1$. Dolayısıyla $\pi$ içinde kendi basamak dizilimini belli bir sonlu sayıdan sonra kuyrugunda gösteremiyor peki $e$ sayısı için ne diyebiliriz? yani $\pi=\underbrace{3.14159265359.....}_{\text{sonlu n tane terim}}\underbrace{27182818284590452353602874713527...}_{\text{e sayısının basamakları}}$


1) Çünkü kendi içinde tekrar eden sayılar rasyoneldir, belli bir sonlu $10^n$ ile çarpıp bulunabilir. Şöyleki $\pi$ için eğer öyle olsaydı:

$\pi=\underbrace{3.14159265359...}_{n\; terim}\underbrace{314159265359...}_{\pi'nin\; basamakları}$

$\Rightarrow\quad\pi 10^{n-1}=\underbrace{314159265359.....}_{bir  tamsayı}\underbrace{.}_{}314159265359....$

Dolayısıyla

$$\pi 10^{n-1}=\lfloor\pi10^{n-1}\rfloor+\dfrac{\pi}{10}\\ \Rightarrow \pi\underbrace{(10^n-1)}_{\in \mathbb Z}=\underbrace{10\lfloor\pi10^{n-1}\rfloor}_{\in \mathbb Z}$$

Çelişki.
12, Haziran, 12 Akademik Matematik kategorisinde Anil (7,730 puan) tarafından  soruldu
13, Haziran, 13 Anil tarafından düzenlendi

"Eğer olsaydı rasyonel olurdu, çelişki." bu kismi biraz acabilir misin?

$\pi-10^{n}e$ sayisinin ondalik acilimlarina bakarak bir sonuca gidilebilir.

Bu arada $e$ sayisinin basamaklarinda da $\ldots$  olmali sanki.

Olamaz demiyorum ama $e+\pi$ ve $e\cdot \pi$ degerlerininden en az biri irasyonel ama hangisi oldugu bilinmiyordu en son. Bu da sorunu biraz zor yapabilir.

Sadece bu farklardan birinin rasyonel olmasini degil, sonlu ondalik basamagi olanindan istiyoruz.

Bir de "$\pi$ devretmeyen sonsuz basamaklı olduğu için" demek istedin herhalde.

Bu arada sunun cevabi da henuz verilmemisti: $\pi$ tum sonlu dizileri icerir mi icermez mi?

Düzenledim, sanırım sonlu dizilerin olup olmadığından bile emin değilsek kuyruğunda belli bir irasyonelin olup olmadığından nasıl emin olabiliriz? Bence aslında kuyrukta bir şeyin olup olmadığını bulmak daha kolay olmalı.

Sonucta sonsuza kadar tekrar ediyorsa, barindiramaz demek mumkun degil. Barindirma olasigini sifirdan farkli olmaz mi

Olasılıgı 0 sanırım. $\pi$'nin kuyrugunda $\pi$ olmadıgını biliyoruz. Ama sayılamaz sonsuz sayıda irrasyonel sayı var bunların $\pi$'nin kuyrugunda olma olasılıgı varsa, o zaman bence herhangi irrasyonel sayının pinin kuyrugunda olma olasılıgı 0 olurdu. (sanırım)

...