$\pi$, içinde $e$ gibi ve kendisi ($\pi$) gibi transandental veya irrasyonel sayıları barındırabilir mi?

Question

Örneğin eğer $\pi$ devretmeyen sonsuz basamaklı olduğu için  öyle bir sonlu basamaktan sonra $\pi$'nin basamakları gene $\pi$ içinde olabilir mi? Eğer olsaydı rasyonel olurdu, çelişki$^1$. Dolayısıyla $\pi$ içinde kendi basamak dizilimini belli bir sonlu sayıdan sonra kuyrugunda gösteremiyor peki $e$ sayısı için ne diyebiliriz? yani $\pi=\underbrace{3.14159265359.....}_{\text{sonlu n tane terim}}\underbrace{27182818284590452353602874713527...}_{\text{e sayısının basamakları}}$

1) Çünkü kendi içinde tekrar eden sayılar rasyoneldir, belli bir sonlu $10^n$ ile çarpıp bulunabilir. Şöyleki $\pi$ için eğer öyle olsaydı:

$\pi=\underbrace{3.14159265359...}_{n\; terim}\underbrace{314159265359...}_{\pi'nin\; basamakları}$

$\Rightarrow\quad\pi 10^{n-1}=\underbrace{314159265359.....}_{bir  tamsayı}\underbrace{.}_{}314159265359....$

Dolayısıyla

$$\pi 10^{n-1}=\lfloor\pi10^{n-1}\rfloor+\dfrac{\pi}{10}\\ \Rightarrow \pi\underbrace{(10^n-1)}_{\in \mathbb Z}=\underbrace{10\lfloor\pi10^{n-1}\rfloor}_{\in \mathbb Z}$$

Çelişki.

Comments

"Eğer olsaydı rasyonel olurdu, çelişki." bu kismi biraz acabilir misin?

$\pi-10^{n}e$ sayisinin ondalik acilimlarina bakarak bir sonuca gidilebilir.

Bu arada $e$ sayisinin basamaklarinda da $\ldots$  olmali sanki.

Olamaz demiyorum ama $e+\pi$ ve $e\cdot \pi$ degerlerininden en az biri irasyonel ama hangisi oldugu bilinmiyordu en son. Bu da sorunu biraz zor yapabilir.

Sadece bu farklardan birinin rasyonel olmasini degil, sonlu ondalik basamagi olanindan istiyoruz.

---

Bir de "$\pi$ devretmeyen sonsuz basamaklı olduğu için" demek istedin herhalde.

---

Bu arada sunun cevabi da henuz verilmemisti: $\pi$ tum sonlu dizileri icerir mi icermez mi?

---

Düzenledim, sanırım sonlu dizilerin olup olmadığından bile emin değilsek kuyruğunda belli bir irasyonelin olup olmadığından nasıl emin olabiliriz? Bence aslında kuyrukta bir şeyin olup olmadığını bulmak daha kolay olmalı.

---

Sonucta sonsuza kadar tekrar ediyorsa, barindiramaz demek mumkun degil. Barindirma olasigini sifirdan farkli olmaz mi

---

Olasılıgı 0 sanırım. $\pi$'nin kuyrugunda $\pi$ olmadıgını biliyoruz. Ama sayılamaz sonsuz sayıda irrasyonel sayı var bunların $\pi$'nin kuyrugunda olma olasılıgı varsa, o zaman bence herhangi irrasyonel sayının pinin kuyrugunda olma olasılıgı 0 olurdu. (sanırım)

---

$\pi -3 , \quad \pi -3.1, \quad\pi-3.14, \quad\cdots$ seklinde sayilabilir sonsuz tane irrasyonel sayi $\pi$ nin kuyrugunda degil mi ?