Aşağıdaki denklemin supremum ,infemum ,arg max ve arg min değerlerini bulunuz

Question

Benim soruyu çözmek için izlediğim method şöyle idi:

denklemin türevini aldım ve 0'a eşitledim. Burdan iki denklem çıktı ve denklemlerdeki X değerlerini şu şekilde buldum X = 1/3 , X=1 (Birinci denklemden) .X=0 , X= 1(ikinci denklemden) ve bu buldum 4 değer arasından minimum olanın infemum , maksimum olanın supremum olduğunu düşünüyorum yani ;

Sup f(X) = 1 

Inf f(X) = 0 geliyor . Doğru mu ?

Arg max ve arg min nasıl yapılır hiçbr fikrim yok . Yardımcı olabilirseniz çok sevinirim.bu denklemin soruda verilen ilk hali ( türevi alınmamış hali ) 

türevini aldığım hali 

 burdaki iki denklemden türevleri buldum ancak arguman max ve minimumu bulamadım.

Comments

Sorunuz tam anlasilmiyor. 

$f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2+x}$ fonksiyonunun sup-inf ... degerlerine bakiyorsunuz degil mi?

Hangi aralik uzerinde tanimli bu fonksiyon? Ozel bir aralik verilmis mi, tum gercel sayilar icin mi tanimli?

---

<p> Tüm gerçel sayılar üzerinde tanımlı hocam. Evet verilen fonksiyonun supremum ve infemum değerlerini arıyorum. 
</p>

---

Sadece ic fonksiyonu dusunelim: $$x(x-1)^2=x^3-2x^2+x$$ kubik bir polinom, derecesi pozitif tek bir tam sayi olan bir polinom. Bu polinomun $x\to\pm \infty$ olarak limitleri ne olur?

Ayrica $\cdots^{1/3}$ sadece bir us. Limitleri nasil etkiledigi acik.

Answer 1

Argmin ne demek local min mi yoksa $x$ degeri mi?

Turevin sifir olmasi ancak payin sifir olmasi ile mumkun ve turev

$x = 1/3$, $x = 1$ icin sifirdir ama $x = 1$ icin payda da sifir oluyor.
     Yani turev $x = 1$ de tanimsizdir veya yoktur denir.
      Fonsiyon $x = 1$ de tanimli fakat turevi tanimsiz oldugundan,
$f (x) $in grafigi $x = 1$ de cusp (turkcesini bilmiyorum) yapar, yani $f (x) $ $x = 1$ de keskin donus yapar, mutlak deger fonsiyonunun $x = 0 $ da yaptigi gibi.

    $x = 1/3$ ve $x = 1$ kritik sayilardir.

$x = 1/3$ ve $x = 1$ icin  turev tablosu yaparsak

     $x < 1/3$ icin  ($x = -1$ alarak, turevde yerine koy,  turevin isaretine bak)  $f' (x) > 0$ olur.
     $1/3 < x < 1$   icin (bu aralikta herhangi bir sayi al, turevde yerine koy ) $ f' (x) < 0$
    $ x > 1 $ icin   ($x = 2 $ alarak, turevde yerine koy,  turevin isaretine bak)  $f' (x) > 0$ olur.
     
      $f' (x)$  $  x =    1/3 $ ten once positif $x = 1/3 $ ten sonra negatif oldugundan,
 $f (x)$ fonsiyonu $x =  1/3 $ e kadar artan $x =   1/3$ ten sonra azalandir ve $x =
   1/3$ argmax dir (Birinci turev testinden dolayi).
     
     $ f' (x)$    $x =     1 $ ten once negatif $x = 1$ den sonra positif oldugundan,
 $f (x) $ fonsiyonu $x =  1$ e kadar azalan $ x =   1 $ den sonra artandir ve $x =    1$ argmin dir (Birinci turev testinden dolayi)

Comments

Çok teşekkür ederim Ökkeş Bey açıklamanız için.

Peki bu durumda  ;

infemum değeri - ∞

ve supremum değeri +∞ mu olmalı ?

 

---

Onlarin tanimina bagli. Ders notlarinda nasil tanimlandigini paylasirsan birsey soyleyebilim.

---

Eger sonsuz ise yok denir. Cunku sup ve inf her zaman bir reel sayidir ve sonsuz ise bir sayi degildir.

---

doğal sayılarda tanımlı diye anladım ben sorunun orjinal metnini de paylaşıyorum.

---

Eger fonsiyonun $R$ de tanimliysa, inf ve sup yoktur, bundan dolayi argmin ve argmax de yoktur. Cunku fonksiyon ustten ve alttan sinirli degil.

Eger $x$ global min ise

$(x,f(x))$=$(arg min f ,inf f)$

 

Asagidaki ornege bakalim.

Vikipedia'dan aldigim bu ornekte, kirmizi olan fonksiyon en kucuk degerleri $x={−4.49, 4.49}$ noktalarinda alir, bundan dolayi, argmin f={−4.49, 4.49} dir. Fonsiyonun bu noktalardaki yaklasik degeri f(−4.49)=f(4.49)= −0.217 dir. Bundan dulayi inf f=−0.217 dir.

kirmizi olan fonksiyon en buyuk degerini $x=0$ noktalarinda alir, bundan dolayi, argmaxf=0 dir. Fonsiyonun bu noktadakii f(0)= 1 dir. Bundan dulayi sup f=1 dir.