Aşağıdaki denklemin supremum ,infemum ,arg max ve arg min değerlerini bulunuz

0 beğenilme 0 beğenilmeme
37 kez görüntülendi

Benim soruyu çözmek için izlediğim method şöyle idi:

denklemin türevini aldım ve 0'a eşitledim. Burdan iki denklem çıktı ve denklemlerdeki X değerlerini şu şekilde buldum X = 1/3 , X=1 (Birinci denklemden) .X=0 , X= 1(ikinci denklemden) ve bu buldum 4 değer arasından minimum olanın infemum , maksimum olanın supremum olduğunu düşünüyorum yani ;

Sup f(X) = 1 

Inf f(X) = 0 geliyor . Doğru mu ?

Arg max ve arg min nasıl yapılır hiçbr fikrim yok . Yardımcı olabilirseniz çok sevinirim.imagebu denklemin soruda verilen ilk hali ( türevi alınmamış hali ) 


türevini aldığım hali 

image burdaki iki denklemden türevleri buldum ancak arguman max ve minimumu bulamadım.

27, Mayıs, 27 Lisans Matematik kategorisinde nazliendmüh1 (19 puan) tarafından  soruldu

Sorunuz tam anlasilmiyor. 

$f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2+x}$ fonksiyonunun sup-inf ... degerlerine bakiyorsunuz degil mi?

Hangi aralik uzerinde tanimli bu fonksiyon? Ozel bir aralik verilmis mi, tum gercel sayilar icin mi tanimli?

<p> Tüm gerçel sayılar üzerinde tanımlı hocam. Evet verilen fonksiyonun supremum ve infemum değerlerini arıyorum. 
</p>

Sadece ic fonksiyonu dusunelim: $$x(x-1)^2=x^3-2x^2+x$$ kubik bir polinom, derecesi pozitif tek bir tam sayi olan bir polinom. Bu polinomun $x\to\pm \infty$ olarak limitleri ne olur?

Ayrica $\cdots^{1/3}$ sadece bir us. Limitleri nasil etkiledigi acik.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Argmin ne demek local min mi yoksa $x$ degeri mi?

Turevin sifir olmasi ancak payin sifir olmasi ile mumkun ve turev

$x = 1/3$, $x = 1$ icin sifirdir ama $x = 1$ icin payda da sifir oluyor.
     Yani turev $x = 1$ de tanimsizdir veya yoktur denir.
      Fonsiyon $x = 1$ de tanimli fakat turevi tanimsiz oldugundan,
$f (x) $in grafigi $x = 1$ de cusp (turkcesini bilmiyorum) yapar, yani $f (x) $ $x = 1$ de keskin donus yapar, mutlak deger fonsiyonunun $x = 0 $ da yaptigi gibi.

    $x = 1/3$ ve $x = 1$ kritik sayilardir.


$x = 1/3$ ve $x = 1$ icin  turev tablosu yaparsak

     $x < 1/3$ icin  ($x = -1$ alarak, turevde yerine koy,  turevin isaretine bak)  $f' (x) > 0$ olur.
     $1/3 < x < 1$   icin (bu aralikta herhangi bir sayi al, turevde yerine koy ) $ f' (x) < 0$
    $ x > 1 $ icin   ($x = 2 $ alarak, turevde yerine koy,  turevin isaretine bak)  $f' (x) > 0$ olur.
     
      $f' (x)$  $  x =    1/3 $ ten once positif $x = 1/3 $ ten sonra negatif oldugundan,
 $f (x)$ fonsiyonu $x =  1/3 $ e kadar artan $x =   1/3$ ten sonra azalandir ve $x =
   1/3$ argmax dir (Birinci turev testinden dolayi).
     
     $ f' (x)$    $x =     1 $ ten once negatif $x = 1$ den sonra positif oldugundan,
 $f (x) $ fonsiyonu $x =  1$ e kadar azalan $ x =   1 $ den sonra artandir ve $x =    1$ argmin dir (Birinci turev testinden dolayi)

27, Mayıs, 27 Okkes Dulgerci (1,409 puan) tarafından  cevaplandı
27, Mayıs, 27 nazliendmüh1 tarafından seçilmiş
Çok teşekkür ederim Ökkeş Bey açıklamanız için.

Peki bu durumda  ;

infemum değeri - 

ve supremum değeri +∞ mu olmalı ?
 

Onlarin tanimina bagli. Ders notlarinda nasil tanimlandigini paylasirsan birsey soyleyebilim.

Eger sonsuz ise yok denir. Cunku sup ve inf her zaman bir reel sayidir ve sonsuz ise bir sayi degildir.

doğal sayılarda tanımlı diye anladım ben sorunun orjinal metnini de paylaşıyorum.

image

Eger fonsiyonun $R$ de tanimliysa, inf ve sup yoktur, bundan dolayi argmin ve argmax de yoktur. Cunku fonksiyon ustten ve alttan sinirli degil.


Eger $x$ global min ise

$(x,f(x))$=$(arg min f ,inf f)$

image 

Asagidaki ornege bakalim.


image

Vikipedia'dan aldigim bu ornekte, kirmizi olan fonksiyon en kucuk degerleri $x={−4.49, 4.49}$ noktalarinda alir, bundan dolayi, argmin f={−4.49, 4.49} dir. Fonsiyonun bu noktalardaki yaklasik degeri f(−4.49)=f(4.49)= −0.217 dir. Bundan dulayi inf f=−0.217 dir.


kirmizi olan fonksiyon en buyuk degerini $x=0$ noktalarinda alir, bundan dolayi, argmaxf=0 dir. Fonsiyonun bu noktadakii f(0)= 1 dir. Bundan dulayi sup f=1 dir.



...