diferansiyel-operatör

0 beğenilme 0 beğenilmeme
324 kez görüntülendi

$H=l_{2}(0,\pi)$    $T=\frac{d^{2}}{dx^{2}} $ operatörünün sınırlı olup olmadığını gösteriniz.Burada 

$D(T)={y(x) \in C^{\infty}[0,\pi] \quad  y(0)=y(\pi)=0}$ dir.

-----------------

$ T: D(T) = { y(x)\in C^{\infty}[0,\pi], y(0)=y(\pi)=0} $

$ y(x) \rightarrow Ty(x)=-y''(x) $  

$x\in[0,\pi]$

şimdi burada operatörün lineer olduğunu bilmiyoruz , o halde bilelim! 

$y,z \in D(T)$  $\alpha , \beta $ skalerler olmak üzere $ T(\alpha y + \beta z) = \alpha Ty + \beta Tz $

olduğunu gösterelim.

$x \in [0,\pi]  $ için  $ T(\alpha y + \beta z)(x) = -(\alpha y + \beta z )^{''}(x)=-\alpha y^{''}(x)-\beta z^{''}(x)=\alpha Ty(x)+ \beta T(z) $

lineer bir operatör aldığımızda sınırlı $ \iff $ süreklidir. 

O halde sürekli olduğunu göstermek yeterlidir.

$y(x) \in C^{\infty} [0,\pi] $ olduğundan ikinci mertebeden her zaman türevi vardır. $ x\in [0,\pi] $ aralığında türevli ise süreklidir.Dolayısıyla sınırlıdır.(izninizin olduğu taktirde gelecek olan çözüm ile  karşılaştırmak istediğim çözüm)

8, Mayıs, 2018 Akademik Matematik kategorisinde kadrkoparan (31 puan) tarafından  soruldu
8, Mayıs, 2018 Sercan tarafından düzenlendi

Bu çözümde bir karışıklık olmuş herhalde.

Sınırlı olduğunun gösterilmesi istenen şey $Ty$ değil $T$ operatörü. 

(Operatörün sınırlı olması için) Her $y$ için, $\left\| Ty\right\|\leq M\left\| y\right\|$ olacak şekilde bir $M\in\mathbb{R}$ bulmak gerekiyor.

kuvvetle muhtemel hocam , emin olmamak ile birlikte yazdım.Tekrardan yanıtlayacağım.Teşekkür ederim.

kadrkoparan,

Bu uzayda bazı (sonsuz çoklukta olsa daha iyi) fonksiyonlar bulup $\left\|y\right\|$ ve $\left\|Ty\right\|$ yi hesaplamayı denedin mi?

hayır hocam denemedim , kısa süre içerisinde ilgileneceğim.

...