Bir polinom sorusu

Question

$\sqrt {2}\cdot 2^{x}-x^{2}+x-1$ ifadesinin polinom olmama nedeni nedir?Genellikle bu tip basit olarak sınıflandırabileceğimiz sorularda hata yapıyorum.Kaynaklarda polinom olma şartları  terimlerin derecelerinin doğal sayı,katsayılarının reel sayı olması.Bunun dışında herhangi bir bilgi mevcut değil.Peki bu sartlar nereden geliyor?Polinomun tanım kümesi reel sayı olan özel bir fonksiyon olmasından dolayı dersek yukardaki gibi her reel sayı için tanımlı olan bir fonksiyona polinom dememize engel olan nedir?Gerçi standart formu düşündüğümüzde reel sayılar kümesinde tanımlı her fonksiyon polinom olmuyor.O zaman bu tip sorularda bütün mesele ifadeyi standart formla karşılaştırmak mı?

Comments

Polinomları:

Değişkenin her değeri için  değişken ve bazı (hep aynı) sabitlerden, sadece çarpma, toplama ve çıkarma (sonlu sayıda ve hep aynı işlemler!) yaparak hesaplanan fonksiyonlar olarak düşün.

$2^x$ i $x$ doğal sayı olmadığında, bu şekilde hesaplayamıyoruz.

$\sqrt[3]x$ i, $\sin x$ i   bu şekilde hesaplayamıyoruz.

(başka bir soruda bir fonksiyonun (galiba $2^x$ idi)  polinom olmadığını daha "teknik" bir şekilde göstermiştim. Arama yaparsan belki bulabilirsin)

Answer 1

$2^x$ ornegi uzerinden gidersek:


Gercel sayilar uzerindeki polinomlari $$\mathbb R[x]=\left\{\sum_{i=0}^na_ix^i \: | \: n\in \mathbb Z^{\ge 0} \ \text{ ve her $0\le i \le n$ tam sayilari icin } \ a_i\in \mathbb R\right\}$$ olarak tanimliyoruz. 

$f:\mathbb R \to \mathbb R$ olacak sekilde bir fonksiyon alalim. Burada $f$ fonksiyonun adi. Ilk $\mathbb R$ kumesi $f$ fonksiyonunun tanim kumesi ve ikinci $\mathbb R$  kumesi ise $f$ fonksiyonunun deger kumesidir. Bizim anlamamiz gereken bunlardan ziyade fonksiyonun kurali...

Bu fonksiyonun bircok kurali olabilir: $$f(x)=\max\{x,x^2\}$$ kuralli bir fonksiyonun $$f(x)=\frac{1}{2}(x+x^2+|x-x^2|)$$ de kurali olur. Bunun (dogal) sebebi her $x\in \mathbb R$ icin $$\max\{x,x^2\}=\frac{1}{2}(x+x^2+|x-x^2|)$$ esitliginin saglanmasi.

Soru: $f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun kurali $$f(x)=2^x$$ ise $f$ bir polinom olabilir mi?

Yukarida ornegini de verdigimiz uzere bir fonksiyonun birkac kurali olabilir. Peki bu fonksiyonun kuralini bir polinom olarak ifade edebilir miyiz? Sorumuz bu. Belki evet, belki hayir.

Cevabimiz: Hayir, Bunu gostermeye calisalim.

Diyelim ki bir $n \in \mathbb Z^{\ge 0}$ icin $$f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i$$ esitligini her $x\in \mathbb R$ icin saglayan (sabit olan) $a_i$ gercel sayilari var. Bu durumda (turev bilgimizle) her $x\in \mathbb R$ icin  $$f^{(n+1)}(x)=0$$ olur. Fakat $2^x$ olan kurali kullanirsak bu saglanmaz: $$f^{(n+1)}(x)=(\ln2)^{n+1}\cdot 2^x$$ olur ve hicbir $x$ degeri icin sifira esit olmaz.

Elbet baska yollarla da ispat yapilabilir.


Bir baska ornek her $x\in \mathbb R$ icin  $$|x|^2=|x^2|=x^2$$ esitligini kullanarak verilebilir. $f:\mathbb R \to \mathbb R$ olmak uzere $$f(x)=|x|^2$$ kuralli fonksiyon bir polinomdur.