Şimdi 12+22+32+....192=? bulmak için n.(n+1).(2n+1)6formülü var biliyorum.Ben burada formülsüz bulmak istedim.Bu ifadeyi
(x+y)2=x2+2xy+y2
x2+y2=(x+y)2−2xy
şeklinde düşünerek:
12+22+32+....192=(1+2+3+....+19)2−2((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))
şeklinde düznledim.
Burada −2((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))
ifadesini bulmak için A={1,2,3,4,.....,19} kümesinin iki elemanlı altkümelerinin
elemanları toplamı kaçtır şeklinde düşündüm.
Buradan (bu kısımdan emin değilim) her sayı toplamda 18 kere olacağından yani
(1,2),(1,3),(1,4),....(1,19)−> 18 tane 1 var
(2,1),(2,3),(2,4),....(2,19)−> 18 tane 2 var
(3,1),(3,2),(3,4),....(3,19)−> 18 tane 3 var
...(19,1),(19,2),(19,4),....(19,18)−> 18 tane 19 var
buradan
((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))=18.(1+2+3+....+19) buldum.
Yani sonuç olarak
∑19i=1i2=(∑19i=1i)2−2(18(∑19i=1i))(∑19i=1i)2=(19.202)2=1902=36100 (n.(n+1)2)Gauss Formülü
−2(18(∑19i=1i))=−6840İşlemleri yerleştirirsek :
∑19i=1i2=36100−6840=29260Olur fakat formülü kullanırsak
n.(n+1).(2n+1)6=19.20.396=2470 çıkar.
Hatam nerede bilmiyorum.Formülün ispatınıda bulamadım .
Eğer biliyorsanız yazar mısınız?Ve hatamı bulursanız söyleyebilir misiniz?
\sum_{i=0}^n i^2 m_{i=0}^n i^2