Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
24.3k kez görüntülendi

Şimdi 12+22+32+....192=? bulmak için n.(n+1).(2n+1)6formülü var biliyorum.Ben burada formülsüz bulmak istedim.Bu ifadeyi

(x+y)2=x2+2xy+y2

x2+y2=(x+y)22xy

şeklinde düşünerek:

12+22+32+....192=(1+2+3+....+19)22((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))

şeklinde düznledim.

Burada 2((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))

ifadesini bulmak için A={1,2,3,4,.....,19} kümesinin iki elemanlı altkümelerinin 

elemanları toplamı kaçtır şeklinde düşündüm.

Buradan (bu kısımdan emin değilim) her sayı toplamda 18 kere olacağından yani

(1,2),(1,3),(1,4),....(1,19)> 18  tane 1 var

(2,1),(2,3),(2,4),....(2,19)>  18 tane 2 var

(3,1),(3,2),(3,4),....(3,19)>  18 tane 3 var

.
.
.
(19,1),(19,2),(19,4),....(19,18)>  18 tane 19 var

buradan ((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))=18.(1+2+3+....+19) buldum.
Yani sonuç olarak

19i=1i2=(19i=1i)22(18(19i=1i))

(19i=1i)2=(19.202)2=1902=36100       (n.(n+1)2)Gauss Formülü

2(18(19i=1i))=6840

İşlemleri yerleştirirsek :

19i=1i2=361006840=29260

Olur fakat formülü kullanırsak
n.(n+1).(2n+1)6=19.20.396=2470 çıkar.

Hatam nerede bilmiyorum.Formülün ispatınıda bulamadım .
Eğer biliyorsanız yazar mısınız?Ve hatamı bulursanız söyleyebilir misiniz?




\sum_{i=0}^n i^2 m_{i=0}^n i^2
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (77 puan) tarafından  | 24.3k kez görüntülendi

Kareler toplami icin yazdiginix esitlik dogru degil. Ornegin 12+22+32  icin deneyin.

12+22+32+...+192=(1+2+3+....+19)22((1+2)+(1+3)+(1+4)+...+(18+19))

doğru değil

12+22+32+...+192=(1+2+3+....+19)22((1×2)+(1×3)+(1×4)+...+(18×19))

olur.

Kanıtını Bernoulli yapıyor bu tarz serileri tamamını tek bir formüle bağlı bulabiliyoruz, sanırım Teleskopik seri olarak geçiyor. Bulamazsan gayet bariz bir kanıtını yazarım

Kanıtınız  cevapta verilenden farklı ise (baktıysanız cevapta da Bernoulli geçiyor) paylaşmanızda fayda var.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Yanit icin Bakiniz

(3.3k puan) tarafından 

Geometrik bir yol bulmaya calistim ama beceremedim.

Çok sevdiğim geometrik bir çözümü var bunun. Bir ara paylaşırım. 

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Merhaba , benim adım Polat , bence 6.satırda bir hata var . Kanımca , eşitlik şöyle olmalı :

Sorunun her ilk iki bileşeni kendi aralarında toplanırsa , mesela 1^2 + 2^2 şeklinde .

Nihai olarak , ( 1 + 2  )^ 2 - 2 . ( 1 . 2 )

                                  +

                    ( 3 + 4 ) ^ 2 - 2 . ( 3 . 4 )

                                  +

                    ( 5 + 6 ) ^ 2 - 2 . ( 5 . 6 )

                                   +

                                ........

                                   +

                  ( 18 + 19 ) ^ 2 - 2 . ( 18 . 19 )



Şeklinde olmalı , yani özetle 6 .satırda sağ ve sol ifadeler birbiri ile eşleşmiyor .

İyi günler 
(15 puan) tarafından 
20,299 soru
21,845 cevap
73,549 yorum
2,757,931 kullanıcı