$\sin 18^{\circ}$ veya $\sin 54^{\circ}$ gibi değerlerin hesaplanması - Matematik Kafası

$\sin 18^{\circ}$ veya $\sin 54^{\circ}$ gibi değerlerin hesaplanması

0 beğenilme 0 beğenilmeme
283 kez görüntülendi

$\sin18$  veya  $\sin54$  gibi değerlerin hesabını nasıl yaparız?

Amaç, bildiğimiz/bilmediğimiz çözümleri görmek. ilgili soru

16, Şubat, 16 Orta Öğretim Matematik kategorisinde alpercay (1,204 puan) tarafından  soruldu
16, Şubat, 16 alpercay tarafından düzenlendi

Ben de bu ara bunlari toparliyorum... Iyi oldu.

Sercan hocam senin toplam fark ispatlarini da burada paylas bence.

Onlari iyicene duzenleyip kitap yapasim var ama burada da paylasabilirim... Nasilini dusunmem gerekli... Alt alta yazsam sayfa dolar, uc bes cevaba bolmek gerekli gibi, dusuneyim bunu.

5 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
Geometrik bir çözüm olarak; Saatin tersi yönünde $ABCDE$ noktalarını bir düzgün beşgen oluşturacak şekilde çizelim. $|BE|$ ve $|AC|$ köşegenlerini çizelim. $BE\cap AC=P$ olsun. $|AP|=|PB|=b$ ve $|PE|=|AE|=|AB|=a$ olduğunu görelim. Sonra bu $ABE$ üçgenini dışarı taşıyalım, $APE$ üçgeninde $E$'den $|PA|$'ya bir dikme inilirse $\sin18^\circ=\dfrac{b}{2a}$ olur. $Q\in|PC|$ ve $|AQ|=|AP|$ olacak şekilde bir nokta seçelim ve ayrıt çizelim, $|PQ|$'ya bir dikme inilirse buradan da $\sin18^\circ=\dfrac{a-b}{2b}$ olduğu görülür. Son darbe: $$\sin18^\circ=\dfrac{a-b}{2b}=\dfrac{b}{2a}\Rightarrow a^2-ab-b^2=0$$ Bu denklemi $a$'ya göre çözersek $a=b\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$ olduğunu görürüz. ($a$ ve $b$ pozitif olmalıdır.) $$\sin18^\circ=\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$$ olduğu görülür.
16, Şubat, 16 Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  cevaplandı
21, Şubat, 21 alpercay tarafından seçilmiş

Geometriyi yazi olarak yazinca bana geometrik gelmiyor:)

Bana da:) , takip etmesi de zor oluyor. Müsait olunca temiz bir şekil atarım belki. Şu geogebrayı da hala öğrenemedim:(

Ben LaTeX'le cizmeye basladim. Daha kolay. 

LaTeX'le çizim yaptıran bir editör olsa aslında, ben en iyi editorlerden öğreniyorum, karıştırıyorum. Boşluk yapmayı, aralık, satır atlatmayı da sizin çözümleri inceleye inceleye öğrendim zaten:)

Sen bir tane kur, ben sana cizdigim sekilleri atarim. Bu insta'da paylastiglarimi falan. Bu linktede ilk girisi vermisler. Zaten bunlarla bircogu cizilebiliyor...

Kolay gözüküyor gerçekten, bilgisayara geçince kurayım hemen. Sağolun hocam:)

A,P ve C noktaları doğrusal değil mi Deniz? O zaman APC üçgeni oluşmaz.

Yanlış yazmışım, uyardığınız için sağolun hocam.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir iki esitlik yazarsak $$\sin 18^\circ=\cos 72^\circ=2\cos^236^\circ-1=2(1-2\sin^218^\circ)^2-1$$ esitligi bize $\sin18^\circ$ degerinin $$8x^4-8x^2-x+1=0$$ denkleminin koku oldugunu verir. Bu polinomun rasyonel koklerini bulmak kolay. $1$ ve $-1/2$ iki koku olur (be bunlar $\sin18^\circ$ degerine bariz olarak esit olmaz). Dolayisiyla $$8x^4-8x^2-x+1=(x-1)(2x+1)(4x^2+2x-1)$$ olarak carpanlarina ayrilir. Geriye kalan iki kok ise $$\frac{-1\pm\sqrt5}{4}$$ olur. $\sin18^\circ$ pozitif oldugundan degeri $$\frac{\sqrt5-1}{4}$$ olmali olur. Buradan $$\sin54^\circ=\cos 36^\circ=1-2\sin^218^\circ=1-2\frac{(\sqrt5-1)^2}{4^2}=\frac{\sqrt5+1}{4}$$ olur.

16, Şubat, 16 Sercan (23,792 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ben de şöyle düşündüm: $$\sin36=\cos54=\cos(36+18)=\cos36\cos18-\sin36\sin18$$   

$$2\sin18\cos18=\cos18(2\cos^218-2\sin^218-1)$$   $$2\sin18=2(1-\sin^218)-2\sin^218-1$$  $$4x^2+2x-1=0$$  denkleminin pozitif kökü olan   $x=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$  sayısı  $\sin18^{\circ}$  değerini verir.

20, Şubat, 20 alpercay (1,204 puan) tarafından  cevaplandı

Aslında $\cos36^\circ$ için ilk başta $\sin18^\circ$'li açılımı yazılabilir.

Evet o şekilde daha kısa olurdu, teşekkürler Sercan Hocam.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Geometrik olarak Deniz'inkine benzer bir çözüm şöyle olabilir:

Yine saatin tersi yönünde bir kenarı $1$ birim olan  $ABCDE$ düzgün beşgenini çizelim ve $BE$ köşegeni üzerinde taban açıları $36^{\circ}$  ve $|AF|=|BF|=x$  olan $ABF$  ikizkenar üçgenini oluşturalım. ${\triangle}ABF$   benzer  ${\triangle}BEA$  olduğundan $$\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x}{1}$$  eşitliğinden pozitif kök olarak   $x=\dfrac{\sqrt 5-1}{2}$  bulunur. Şimdi ${\triangle}AFE$  üçgeninde $AF$  tabanına $EK$  dikmesini inersek $$\sin18^{\circ}=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$$ bulunur.

21, Şubat, 21 alpercay (1,204 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Diger cevaplarda bulundugundan sadece yontem olarak yazacagim:

Kompleks olarak $$z=\cos72^\circ+i\cdot \sin72^\circ$$ dusunelim. Bunun $5$. kuvveti $1$'e esit olur ve $z=1$ olmadigindan $$z^4+z^3+z^2+z+1=0$$ saglanir. Bunu cozmek basit, yontemini vereyim. 

$z\ne 0$ oldugundan $$z^2+z+1+\frac1z+\frac1{z^2}=0$$ saglanir.; yani $$\left( z+\frac1z\right)^2+\left( z+\frac1z\right)-1=0$$ saglanir. Dolayisiyla $$z+\frac1z=\frac{-1\pm\sqrt 5}{2}$$ saglanir. Buradan $$z^2+\frac{1\mp \sqrt5}{2}z+1=0$$ gelir. Buradan da gelecek $4$ kompleks koku bulabiliriz. 


Peki neleri bulduk? Kokler $z,z^2,z^3,z^4$ oldugundan bircok aci icin $\sin$ ve $\cos$ degerlerini hesaplamis olduk. Ayrica $\cos 72^\circ=\sin 18^\circ$ gibi esitlikleri goz onunde bulundurursak yine epey deger bulmus oluruz. 

21, Şubat, 21 Sercan (23,792 puan) tarafından  cevaplandı

Asagidaki soru icin de aslinda bir ornek vermis oldum.  $5\equiv 1 \mod 4 $ oldugundan gercelde de carpanlara ayrildi. 

http://matkafasi.com/112113/kuadratik-cisimler-uzerinde-siklotomik-cisimlerin-polinomlari

...