... eşitsizliğini sağlayan kaç farklı (x,y) ikilisi vardır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
1,666 kez görüntülendi

$x,y \in Z $  olmak üzere,

$ |x|+|y|<10$  eşitsizliğini  sağlayan  kaç farklı  $(x,y)$  ikilisi  vardır?

Ben kendimce  bu tür soruların çözümünü veren  bir formül elde ettim.

Bu tür soruların çözümü için bir formül mevcut mu?


15, Ocak, 2018 Orta Öğretim Matematik kategorisinde YsnA (594 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Senin verdiğin örnek üzerinden iki tane farklı formül yazalım;

$|x|+|y|<10$ aslında $|x|+|y|\leq 9$ anlamına geliyor, çünkü $x,y\in\mathbb{Z}$, özdeş nesnelerin dağıtımıyla $a_1+a_2+\cdots+a_r=n$ denkleminin negatif olmayan $\binom{n+r-1}{r-1}$ tane çözümü olduğunu biliyoruz, bunu $|x|=a\text{ ve } |y|=b$ diyerek uygulayalım, $$a+b=9\Rightarrow 10\\ a+b=8\Rightarrow 9\\a+b=7\Rightarrow 8\\a+b=6\Rightarrow 7\\.\\.\\.\\a+b=0\Rightarrow 1$$ tane çözümü mevcut, dikkat edersek $|x|=a$ iken $x=\{a,-a\}$ çözümleri mevcut ve $|y|=b$ iken $y=\{b,-b\}$ olup iki tane çözüm mevcut, $a=0$ veya $b=0$ olan durumlar da $2$ tane var, bunlar farklı şekilde sayılacağı için bunları ayıralım,  ikişer çözüm çıkardığımız ifadeleri $4$ ile çarpalım, ve sonra $a=0$ ve $b=0$ olduğunda gelecek $2\cdot2$ kadar çözümü terim sayısı kadar ekleyelim, $a+b=0$'ın da bir çözümü var ayrıca, bu yüzden onu dışarı alacağız:

$$4\cdot8+4+4\cdot7+4+\cdots+4\cdot0+4+\color{green}1=4(8+7+6+\cdots+1)+4\cdot9+1=181$$ oluyor, Bu ifadede $n=9$ dersek $$4\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+4n+1=4\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}+1=\color{red}{2n(n+1)+1}=\color{blue}{ n^2+(n+1)^2}$$ geliyor. Bu ikisini zamanım olunca tümevarımla ispatlayabilirim,hatta sen de uğraşabilirsin.

15, Ocak, 2018 Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  cevaplandı

Burada daha düzgün yazmışım.

$x,y \in Z$  ve  $r \in Z^+$  olmak  üzere,

$|x|+|y|<r$  eşitsizliğini sağlayan 

$r^2+(r-1)^2$  tane  $(x,y)$  ikilisi  vardır.

Ben de bu formülü elde etmiştim.

...