Kafes (örgü) noktaları ve doğrular

0 beğenilme 0 beğenilmeme
155 kez görüntülendi

Duzlemde her iki koordinati da tamsayi olan noktalara "kafes" ya da "örgü" noktalari denir. Orijinden geçen bır dogru mutlaka bir orgu noktasindan gecer mi?

Farkli dusunusleri gormek ve paylasim adina soruyorum. Buradan baska bir soruya gecmek istiyorum.

4, Ocak, 4 Orta Öğretim Matematik kategorisinde alpercay (1,222 puan) tarafından  soruldu
5, Ocak, 5 alpercay tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Saglamayan ornek olarak $$y=\pi x$$ dogrusunu ele alalim. Bu dogru uzerindeki noktalarin kumesi $$\{(k,k\pi) \: | \: k \in \mathbb R\}$$ olur. $k=0$ ise $(0,0)$ bir kafes noktasi olur. $k\ne 0$ oldugu durumu inceleyelim. $$(k,k\pi)\in \mathbb Z^2$$ olmasi icin $$k,\; k\pi \in \mathbb Z$$ olmali. Dolayisi ile $$\pi=\frac{k\pi}{k}\in \mathbb Q$$ olmali. Bu da celiski verir. Dolayisi ile $(0,0)$ disinda bir kafes noktamiz olmaz. 

Bu mantikla sunu ispatlayabiliriz: Orijinden gecen $$y=ax$$ dogrusu $(0,0)$ disinda bir kafes noktasi icerir ancak ve ancak $a$ rasyonel bir sayidir.

Irrasyonel ise yukaridaki $\pi$ yerine $a$ yazdigimizda sonucu elde ederiz.

Rasyonel ise $a=p/q$ olacak sekilde bir $(p,q)$ tam sayi ikilisi vardir ve dogru $(q,p)$ noktasindan gecer. 

* $x=0$ dogrusunda (ve $y=0$ dogrusunda) zaten $k$ tam sayi olmak uzere her $(0,k)$  (ve $(k,0)$) kafes noktasidir.

4, Ocak, 4 Sercan (23,797 puan) tarafından  cevaplandı
5, Ocak, 5 alpercay tarafından seçilmiş
...