Question

x,y rasyonel sayılar olmak üzere,

$\dfrac {6}{\sqrt {5}-\sqrt {3}}+\dfrac {4}{\sqrt {5}+\sqrt {3}}=\times \sqrt {3}-y\sqrt {5}$

olduğuna göre x-y kaçtır ?

Cevap: 6

Eşlenikleri ile çarptım

$\dfrac {6\sqrt {5}+6\sqrt {3}+4\sqrt {5}-4\sqrt {3}}{2}=x\sqrt {3}-y\sqrt {5}\\$

$5\sqrt {5}+\sqrt {3}=\times \sqrt {3}-y\sqrt {5}$

Burdan sonrasını yapamadım . Kökleri aynı olanları aynı tarafa alıp ortak paranteze aldım. Ordan çıkmadı ya da ben yapamadımç

Answer 1

$a$ ve $b$ rasyonel sayılar  ve $a\sqrt{3} + b\sqrt{5} = 0$ ise $a=b=0$ olur. Neden? Açıklayalım. 

Diyelim ki $a$ ve $b$'nin ikisi de sıfırdan farklı rasyonel sayılar.

Eğer $a\sqrt{3} + b\sqrt{5} = 0$ ise iki tarafın karesini alıp $$3a^2 + 2\sqrt{15} + 5b^2=0$$ eşitliğini elde ederiz ve buradan  $$\sqrt{15} =-\frac{3a^2 + 5b^2}{2ab}$$ olduğunu görürüz. $a$ ve $b$ rasyonel sayılar oldukları için bu eşitliğin sağ tarafı rasyonel bir sayı ama sol tarafı irrasyonel!! Bir rasyonel sayı bir irrasyonel sayıya eşit olamaz! Buradan ne sonuç çıkarabiliriz? Onu da sana bırakıyorum.

Lisans öğrencileri için bu şu anlama geliyor: Eğer reel sayıları rasyonel sayılar üzerine bir vektör uzayı olarak görürsek, $\sqrt{3}$ ve $\sqrt{5}$ doğrusal bağımsız olurlar.