polinomun katsayılar toplamını bulma

Question

Emeğinize sağlık siteyi tekrar açtığınız için, teşekkürler öncelikle :)

Bir $P(x)$ polinomu için,

$P(x-2) + x^3.P(x+1) = x^4 + x - 3$

eşitliği veriliyor. Buna göre $P(x)$ polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

İfadeyi biraz sadeleştirmek ve bir şeylere ulaşabilmek için x=0 değerini verdim, P(-2) = -3 çıktı, daha sonra P(1) e ulaşmak için x=3 değerini verdim P(1) + 27.P(4) = 81 buldum, böyle değerlerini bulduğumuz sorularda doğrusal fonksiyon çıkıyordu genelde öyle bir şey de fark etmedim.Nasıl çözebilirim bu soruyu?

Answer 1

Eger boyle bir $P$ polinomu var ise $$3+\text{der}(P)=4$$ olmali. Yani derecesi $1$ olmali. Ayni sekilde bas kat sayisinin da $1$ olmasi gerektigini gorururuz. Bu durumda bir $a$ gercel sayisi icin $$((x-2)+a)+x^3((x+1)+a)=x^4+x-3$$ olmali. Bu da bize $a=-1$ olmasi gerektigini verir. Demek ki bu sarti saglayan tek polinom $$x-1$$ kuralina sahip olan polinom. 

Answer 2

Denklemin sağ tarafının derecesi $4$, demek ki denklemin sol tarafının da derecesi $4$ olmak zorunda. Görüldüğü üzere sol tarafın derecesi $x^3\cdot P(x+1)$'in derecesi ile aynı, yani $3+derece(P(x+1)$. Fakat $P(x-2)$ ve $P(x+1)$ polinomlarının dereceleri $P(x)$ polinomunun derecesi ile aynı. Haliyle buradan $P(x)$'in derecesinin $1$ olduğunu, yani senin de söylediğin gibi doğrusal olmak zorunda olduğunu görüyoruz. 

$P(x)=a\cdot x+b$ yazıp denklemde yerine koyarak $a$ ve $b$ değerlerini hesaplayabilirsin.