Öncellikle genel olarak Taylor serisi herhangi iki $\mathbb{K}$-Banach uzayı $X,Y$, açık $U\subseteq X$ ve $a\in U$'da türevlenebilir olan $f:U\rightarrow Y$ için (burada $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ veya $\mathbb{K}=\mathbb{C}$):
$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}(D^k f)(a)[x]$ olarak tanımlanır
($(Df)(a)[x]$= $f$'in $a$ noktasındaki türev fonksiyonunu $x$ noktasında değerlendirmek),
biz bunu daha çok şöyle yazıyoruz: $f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty b_k (x-a)^k, b_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ ($f^\prime(a)=(Df)(a)$ aslında bir fonksiyon, ancak belli bir $x$ noktasında $Y$'de bir değer alacak).
Şimdi sorunuza gelelim: Hayır, bir Taylor serisine açılamayan gerçel değerli fonksiyonlar da (hatta sonsuz kere türevlenebilir olmalarına rağmen) vardır:
örn. $f:]0,\infty[\rightarrow]0,\infty[,x\mapsto \frac{1}{x}$ için $f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^k k!}{x^{k+1}}$
ve $a$ noktasındaki açılımını yazmaya çalıştığımız seri $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^k}{a^{k+1}}$ örn. $a=x=1$ noktasında yakınsamaz.
Karmaşık değerli fonksiyonlar için: Eğer $f$ $a$'nın etrafında holomorf bir fonksiyonsa $B_d(c)$ topu içerisinde aşağıdaki gibi bir Taylor serisi açılımı vardır. ($B_d(a)$ burada $a$ noktası etrafındaki $d$ yarıçaplı topu kasteder.)
$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty b_k (x-a)^k$, $b_k=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\partial B}\frac{f(\zeta) d\zeta}{(\zeta-a)^{k+1}}$
$B:=B_r(a), 0<r<d$.
Daha fazla bilgi için (mesela türevi alınamayan fonksiyonların olduğu durumlarda) Taylor (Analiz) ve Cauchy-Taylor (Karmaşık analiz) açılım teoremlerini inceleyebilirsiniz.