Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.4k kez görüntülendi
c=3 icin  f(x)=11+x2 fonksiyonunu Taylor serisi ile ifade ediniz.
Lisans Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından  | 1.4k kez görüntülendi
Diziler için üreteç fonksiyon fikri kullanılabilir.
<p><a rel="nofollow" href="https://matkafasi.com/130363/c-icin-f-dfrac-fonksiyonunu-taylor-serisi-ile-ifade-ediniz?show=130653#a130653">Burada</a>&nbsp;verilen çözümde c=3 için&nbsp; 11+x=n=0(14)n+1(x3)n olduğu belirtilmiş.</p>

<p>x yerine x2 yazılırsa 11+x2=n=0(14)n+1(x23)n</p>
Seri içindeki terimler an(x3)n şeklinde olmalı.
(x23)n şeklinde olması nasıl bir problem yartır?
İstenen o değil. Türevi karışık gelir, integrali zor alınır.
Esas olan f(x) 'e maksimum yaklaşımı veren bir başka fonksiyon bulmak değil mi? Türevinin zor olması ya da inteğralinin zorlaşması böyle düşünülemiyeceği anlamına gelmemeli. Bu bilinen kuvvet serisi tanımına uymayan belkide "ikinci dereceden kuvvet serisi" denilebilecek bir seri. Terimleri an(x2c)n şeklinde olan bir seri. Daha genel olarak an(xmc)n şeklinde serilerin var olabileceğini düşünebiliriz.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

(Sercan "üreteç fonksiyon" diye ipucu vermiş)

Önce 1+x2 yi 3 merkezli Taylor "serisine" açalım. Kolayca:

1+x2=10+6(x3)+(x3)2 elde ederiz.

Şimdi, 11+x2=n=0an(x3)n olacak şekilde an, (n0) sayıları bulmaya çalışacağız.

(Kuvvet serisini yakınsaklık yarıçapı pozitif olacak şekilde böyle bir dizinin var olduğunu göstermiyorum.

Bunu, karmaşık Analiz ile kolayca gösterebiliriz. Yakınsaklık yarıçapı da 10 olacaktır)

1=(1+x2)11+x2=(10+6(x3)+(x3)2)(n=0an(x3)n) den,

10a0=1 den a0=110

10a1+6a0=0 dan a1=350 bulunur.

n2 için an2+6an1+10an=0 olmalıdır.

Buradan:

n2 için an=110(6an1+an2) olması gerektiği çıkar.

Öyleyse (yukarıdaki varsayım altında):

|x3|<10 sağlayan her x için 11+x2=n=0an(x3)2 dir.

Buradaki katsayılar:

a0=110, a1=350 ve n0 için an+2=110(6an+1+an)

indirgemeli dizisinin terimleridir.

(Edit: Bir çok işlem ve yazım hatası düzeltildi.)

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Bu sorudaki kuvvet serisinin yakınsaklık Yarıçapının 10 olduğunu gösteriniz

a0 ve a1 nasil buldugunuzu anlamamistim once ama simdi gordum. Baya olmus bunlari goreli unutmusum.

 

1=(1+x2)n=0an(x3)n olsun.  n=0 icin

 

1=(1+x2)a0  ve x=3 icin a0=110 olur.

----------------------------------------------

1=(1+x2)n=0an(x3)n her iki tarafin turevini alalim.

 

0=2xn=0an(x3)n+(1+x2)n=0ann(x3)n1 ve   n=0,1 icin

 

0=2xa0(x3)0+2xa1(x3)1+(1+x2)a00(x3)1+(1+x2)a11(x3)0 olur .

 

0=2xa0+2xa1(x3)1+(1+x2)a1 ve x=3 icin

 

0=6a0+10a10=6110+10a1a1=350

-----------------------------------------------

 

Aslinda indirgeme formulu lineer oldugundan kolayca cozulebilir ve an acik bir sekilde bulunuabilir.

 

10an+2+6an+1+an=010r2+6r+1=0

 

r=3i10

 

an=(3+i10)nc1+(3i10)nc2

 

n=0:a0=110=c1+c2

n=1:a1=330=(3+i10)c1+(3i10)c2

 

c1=1+3i20  ve c2=13i20

 

an=(3+i10)n(1+3i20)+(3i10)n(13i20)

 

11+x2=n=0an(x3)n=n=0[(1+3i20)(3+i10)n+(13i20)(3i10)n](x3)n

 

=110350(x3)+13500(x3)26625(x3)3+7925000(x3)4117125000(x3)5+

 

an'in komleks olmasina ragmen  nN icin sadelesip rasyonel sayi uretmesi ilginc aslinda.

 

Ama yine de Fibonacci dizisini ureten su kapali fonksiyonun nN icin sadelesip positif tam sayi uretmesi  kada ilginc degil.

Güzel olmuş.
Ben karmaşık sayılar kullanarak basit kesirlerde ayırmayı düşündüm önce. Sonra bunu tercih ettim. O zaman bu sonuca varırdık herhalde.
11+x2=i2x+ii2xi=i2(1(x3)(i3)1(x3)(3+i))

den (uzun hesaplarla) OkkesDulgerci nin formülü elde edilebiliyor.
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,957 kullanıcı