(Sercan "üreteç fonksiyon" diye ipucu vermiş)
Önce 1+x2 yi 3 merkezli Taylor "serisine" açalım. Kolayca:
1+x2=10+6(x−3)+(x−3)2 elde ederiz.
Şimdi, 11+x2=∑∞n=0an(x−3)n olacak şekilde an, (n≥0) sayıları bulmaya çalışacağız.
(Kuvvet serisini yakınsaklık yarıçapı pozitif olacak şekilde böyle bir dizinin var olduğunu göstermiyorum.
Bunu, karmaşık Analiz ile kolayca gösterebiliriz. Yakınsaklık yarıçapı da √10 olacaktır)
1=(1+x2)11+x2=(10+6(x−3)+(x−3)2)(∑∞n=0an(x−3)n) den,
10a0=1 den a0=110
10a1+6a0=0 dan a1=−350 bulunur.
∀n≥2 için an−2+6an−1+10an=0 olmalıdır.
Buradan:
∀n≥2 için an=−110(6an−1+an−2) olması gerektiği çıkar.
Öyleyse (yukarıdaki varsayım altında):
|x−3|<√10 sağlayan her x için 11+x2=∑∞n=0an(x−3)2 dir.
Buradaki katsayılar:
a0=110, a1=−350 ve ∀n≥0 için an+2=−110(6an+1+an)
indirgemeli dizisinin terimleridir.
(Edit: Bir çok işlem ve yazım hatası düzeltildi.)