Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
Lisans Matematik kategorisinde (85 puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

"$\wedge$" işlemi önermeler için söz konusudur. Söz konusu işlem "$\cap$" işlemi olmasın.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Yanlis yazmisim kusura bakmayin aynen kesisim islemi 


(85 puan) tarafından 

Gercekten biraz karisik ama guzel bir sinav sorusu olabilir halka konusunh da icine aliyor. Cozumunuz icin tesekkur ederim.d

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(P(A),\cap)$ cebirsel yapısı değişmeli monoiddir yani $\cap$ işlemi değişmeli, birleşmeli ve birimli bir işlemdir. $\cap$ işleminin birim elemanı $P(A)$'nın $A=\{1,2,3\}$ elemanı (kümesi) olur. Bu işleme göre sadece $A$ elemanının (kümesinin) tersi vardır. $P(A)$'nın diğer elemanların tersi yoktur.

$(P(A),\triangle)$ cebirsel yapısı değişmeli gruptur yani $\triangle$ işlemi değişmeli, birleşmeli, birimli ve tersinir bir işlemdir. $\triangle$ işleminin birim elemanı $P(A)$'nın $\emptyset$ elemanı (kümesi) olur. Her elemanın tersi de kendisine eşittir. Bu işlemin birleşmeli olduğunu göstermek diğer özelliklerini göstermeye nazaran biraz daha zorcadır ama bu işlemin birleşmeli olduğunu göstermek için emek sarf etmenizi öneririm.

Gelelim dağılma özelliğine: $X,Y,Z\in P(A)$ olsun.

$$X\cap (Y\triangle Z)$$

$$=$$

$$X\cap [(Y\backslash Z)\cup (Z\backslash Y)]$$

$$=$$

$$[X\cap (Y\backslash Z)]\cup [X\cap (Z\backslash Y)]$$

$$=$$

$$[(X\cap Y)\backslash (X\cap Z)]\cup [(X\cap Z)\backslash (X\cap Y)]$$

$$=$$

$$(X\cap Y)\triangle (X\cap Z)$$

O halde $\cap$ işleminin $\triangle$ işlemi üzerine soldan dağılma özelliği var. $\cap$ işlemi değişmeli olduğundan sağdan dağılma özelliği de vardır. Sonuç olarak şunu söyleyebiliriz.

$$(P(A),\triangle,\cap)$$ cebirsel yapısı bir halkadır. Hem de değişmeli ve birimli bir halka.

(11.4k puan) tarafından 

Katkınız için teşekkür ederim Sercan hocam. Sizi uzun bir aradan sonra tekrar matkafası'nda görmek güzel. :-)

murad.ozkoc'a katiliyorum.

O güzellikler bana da ait, teşekkür ederim. :)

20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,830 kullanıcı