asal sayı sayısı

Question

daha önce sorulduğunu göremedim ve bir sorunun çözümü için şuna ihtiyacım var:

               Verilmiş bir n sayısı için   1 ile n arasında kaç asal sayı vardır.Bunun n e bağlı bir formülü var mIdır?          Ayrıca n ile 2n arasındaki asal sayısı da lazım tabiki formülü varsa.

Open- problem gibi duruyor fakat belki bulunmuştur diye ümit ediyorum.

Comments

Ilk soyledigin bilinse asal sayilarin ne oldugu da bilinir.  Bunu kolaycana gosterebilirsin.

$n$ ile $2n$ arasinda en az bir asal vardir. (Fazlasi icin bir calisma var mi bilmiyorum) Bertrand's postulate olarak arastirabilirsin.

Answer 1

Formülü var (birden çok) ama pratik önemi yok, çok yavaş hesaplıyorlar.

Biri:(https://math.stackexchange.com/questions/776997/formula-for-prime-counting-function)

$\displaystyle \pi (n)=\sum_{j=2}^{n}\frac{\sin^{2}\left(\pi \frac{((j-1)!)^{2}}{j}\right)}{\sin^{2}(\frac{\pi }{j})}$

Daha basit bir formül (Hardy-Wright) ($n>3$ için geçerli) (http://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html)

$\pi(n)=\displaystyle-1+\sum_{j=3}^n\left((j-2)!-j\left\lfloor\frac{(j-2)!}j\right\rfloor\right)$

Başka da var google ile arayıp bulabilirsin.

Answer 2

Aradiginiz sey "Prime Counting Function". Suralara bakilabilir.

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function

http://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html

Mathematica 1 ile 10^14 arasinda kac tane asal var sorusuna 49 saniye de cevap veriyor. 10^15 icin girilen sayi cok buyuk diyor.