Kaç tane asal sayıya bölmek gerekir ?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
149 kez görüntülendi

191 sayısının asal olup olmadığını anlamak için bu sayıyı en az kaç tane asal sayıya bölmek gerekir ? 

Benim fikrim: Aslında hiçbir fikrim yok ama ilk 4 asal sayıya (yani 2,3,5,7 ) bölmek mantıklı geliyor çünkü sonuçta onluk sistemde asal olan rakamlar ne de olsa, ama cevap 4 değil. Küçük bi ipucu alabilir miyim fikri olan hocalarımdan.


27, Ağustos, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Emre1729 (37 puan) tarafından  soruldu
Sorunun asagiya yazdigim sav ile ilgili olmasi yuksek ihtimal. Bunu ispatlamak kolay. Dogru olmadigini kabul ederek ispatlayabilirsin.

Sav: $n$ sayisinin $\sqrt{n}$ sayisindan kucuk asal boleni yok ise $n$ asaldir.

Ornegin; $91$ sayisi.. $9<\sqrt{91}<10$ ve bu sayidan kucuk asallar $2,3,5,7$... $91$ de $7$ye bolunur. Dolayisi ile asal degil. 

Ornegin; $97$ sayisi.. $9<\sqrt{97}<10$ ve bu sayidan kucuk asallar $2,3,5,7$... $97$ hicbirine bolunmez. Dolayisiyla asal.
191.. 14<$\sqrt{191}$<15 dır. Bu sayıdan küçük asallar 2,3,5,7,11,13.. 191 hiçbirine bölünmez.Dolasıyla asal.
 Çok teşekkür ederim Sercan Hocam.

$\sqrt n$'den küçük olan ve asal olan kaç tane sayı olduğunu bulmak çok büyük $n$ 'ler için pek kolay değil. Çünkü asal sayıların tamamını üreten bir formül ne yazık ki şimdilik yok. Bu formül bulununcaya kadar tek tek saymaktan başka pek bir yol yok. 

Sercan Hocanın değindiği sav, sayılar teorisinin önemli teoremlerinden biridir. Bu teorem ve ispatı belki size daha fazla yardımcı olur diye aşağıya yazdım.

Teorem: $1<n\in N$ asal değil ise $p\leq \sqrt n$ ve $p|n$ olacak şekilde bir $p$ asal tam sayısı vardır.

İspatı: $1<n $ asal değilse bileşik sayıdır. $1$ den büyük her bileşik sayının en az bir asal böleni vardır önermesinden dolayı,  $n=a.b$  ve $1<a<n,\quad 1<b<n$ olacak şekilde $a,b$ doğal sayıları vardır. Buradan $a\leq\sqrt n $ veya $ b\leq \sqrt n$ elde edilir. Çünkü $a>\sqrt n$ ve $b>\sqrt n$ olsaydı $a.b>\sqrt n.\sqrt n=n$ çelişkisi elde edilirdi. 

Hocam o zaman yazdığınız ispattan bişey sorcam ama, mesela n bir tane asal böleni olan bileşik bi sayı olsaydı, ispat ne yönde değişirdi.Çünkü anladığım kadarıyla a ve b $n$'nin asal bölenleri olarak alınmış.

Tek asal böleni olsa mesela , $1<a<\sqrt{n}$ olduğunda $a>\sqrt{n}$ olamayacağı için mi diyeceğiz?

$a$ ve $b$ esit olabilir. 

Yani yanlış mı dediğim.


$n=a^k$ ve $a>\sqrt n$ ise $an=a^k>n^{k/2}$ olur. Bu da $k\ge 1$ icin yanlis olur. 

Soyleyis tarzinda bir sorun yok, diyebilirsin. Fakat ispati ikiye ayirmaya gerek yok. 

Sayın @Emre1729, Sercan beyin de dediği gibi ($a,b$ sayılarının her ikisi de asal, yalnız birisi asal, ikisi de asal değilse durumları için) ispatı ikiye hatta üçe ayırmaya gerek yok. İspat her durum için doğrudur. 

Tamamdır hocam anladım. Çok teşekkür ederim hepinize...

$a$  nin asal sayi olmasi gerekmez. Nasil olsa her dogal sayinin bir asal boleni mevcut.

...