Kaç tane asal sayıya bölmek gerekir ?

Question

191 sayısının asal olup olmadığını anlamak için bu sayıyı en az kaç tane asal sayıya bölmek gerekir ? 

Benim fikrim: Aslında hiçbir fikrim yok ama ilk 4 asal sayıya (yani 2,3,5,7 ) bölmek mantıklı geliyor çünkü sonuçta onluk sistemde asal olan rakamlar ne de olsa, ama cevap 4 değil. Küçük bi ipucu alabilir miyim fikri olan hocalarımdan.

Comments

Sorunun asagiya yazdigim sav ile ilgili olmasi yuksek ihtimal. Bunu ispatlamak kolay. Dogru olmadigini kabul ederek ispatlayabilirsin.

Sav: $n$ sayisinin $\sqrt{n}$ sayisindan kucuk asal boleni yok ise $n$ asaldir.

Ornegin; $91$ sayisi.. $9<\sqrt{91}<10$ ve bu sayidan kucuk asallar $2,3,5,7$... $91$ de $7$ye bolunur. Dolayisi ile asal degil. 

Ornegin; $97$ sayisi.. $9<\sqrt{97}<10$ ve bu sayidan kucuk asallar $2,3,5,7$... $97$ hicbirine bolunmez. Dolayisiyla asal.

---

191.. 14<$\sqrt{191}$<15 dır. Bu sayıdan küçük asallar 2,3,5,7,11,13.. 191 hiçbirine bölünmez.Dolasıyla asal.

 Çok teşekkür ederim Sercan Hocam.

---

$\sqrt n$'den küçük olan ve asal olan kaç tane sayı olduğunu bulmak çok büyük $n$ 'ler için pek kolay değil. Çünkü asal sayıların tamamını üreten bir formül ne yazık ki şimdilik yok. Bu formül bulununcaya kadar tek tek saymaktan başka pek bir yol yok. 

---

Sercan Hocanın değindiği sav, sayılar teorisinin önemli teoremlerinden biridir. Bu teorem ve ispatı belki size daha fazla yardımcı olur diye aşağıya yazdım.

Teorem: $1<n\in N$ asal değil ise $p\leq \sqrt n$ ve $p|n$ olacak şekilde bir $p$ asal tam sayısı vardır.

İspatı: $1<n$ asal değilse bileşik sayıdır. $1$ den büyük her bileşik sayının en az bir asal böleni vardır önermesinden dolayı,  $n=a.b$  ve $1<a<n,\quad 1<b<n$ olacak şekilde $a,b$ doğal sayıları vardır. Buradan $a\leq\sqrt n$ veya $b\leq \sqrt n$ elde edilir. Çünkü $a>\sqrt n$ ve $b>\sqrt n$ olsaydı $a.b>\sqrt n.\sqrt n=n$ çelişkisi elde edilirdi. 

---

Hocam o zaman yazdığınız ispattan bişey sorcam ama, mesela n bir tane asal böleni olan bileşik bi sayı olsaydı, ispat ne yönde değişirdi.Çünkü anladığım kadarıyla a ve b $n$'nin asal bölenleri olarak alınmış.

Tek asal böleni olsa mesela , $1<a<\sqrt{n}$ olduğunda $a>\sqrt{n}$ olamayacağı için mi diyeceğiz?

---

$a$ ve $b$ esit olabilir. 

---

Yani yanlış mı dediğim.

---

$n=a^k$ ve $a>\sqrt n$ ise $an=a^k>n^{k/2}$ olur. Bu da $k\ge 1$ icin yanlis olur. 

Soyleyis tarzinda bir sorun yok, diyebilirsin. Fakat ispati ikiye ayirmaya gerek yok. 

---

Sayın @Emre1729, Sercan beyin de dediği gibi ($a,b$ sayılarının her ikisi de asal, yalnız birisi asal, ikisi de asal değilse durumları için) ispatı ikiye hatta üçe ayırmaya gerek yok. İspat her durum için doğrudur. 

---

Tamamdır hocam anladım. Çok teşekkür ederim hepinize...

---

$a$  nin asal sayi olmasi gerekmez. Nasil olsa $1$ den büyük her dogal sayinin bir asal boleni mevcut.