$ \int _{0}^{1}t^{x-2}\cos \left( \ln t\right) dt $ ifadesinin eşitini x cinsinden bulunuz

0 beğenilme 0 beğenilmeme
71 kez görüntülendi
Denediklerim:Dürüst olmak gerekirse elle tutulur bi çözüm yöntemi bulamadım.Çünkü ifade improper (genelleştirilmiş) integral ve değişken değiştirmeye pek izin vermiyor.
24, Ağustos, 2017 Lisans Matematik kategorisinde emre iriş (38 puan) tarafından  soruldu
24, Ağustos, 2017 Sercan tarafından düzenlendi

$x=2$ icin ve $x=3$ ve de $x=4$ icin cozmeyi denedin mi? Fikir amacli. 

$u=\ln t$ olarak degisken degistirebilirsin.

$x=2$ için kısmi integrasyon ile uzunca bir çözümden sonra sonuç geliyor fakat $x=3$ ve daha fazlası için genel bir ifade üretemedim. Birde genel olarak x'e bağlı bir sonuç çıkartılamaz mı? Eğer cevap hayırsa neden?

$u=\ln t$ deyince gelmesi gerek. (ya da $e^u =t$ diyelim).

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$e^u=t$ donusumu uygularsak $e^udu=dt$ olur ve de $$\int e^{u(x-2)}\cos (u)e^udu=\int e^{u(x-1)}\cos(u)du$$ olur. Kismi integrasyon uygularsak: $U=e^{u(x-1)}$ ve $dV=\cos (u) du$ diyelim. Bu durumda $dU=(x-1)e^{u(x-1)}du$ ve $V=\sin u$ olur; yani integralimiz $$e^{u(x-1)}\sin u-(x-1)\int e^{u(x-1)}\sin u du $$ olur. Bir kere daha uygularsak  $e^{u(x-1)}\cos u$ ifadesini bastan elde edebiliriz ve integrali cekebiliriz.

25, Ağustos, 2017 Sercan (23,859 puan) tarafından  cevaplandı
5, Kasım, 2017 emre iriş tarafından seçilmiş

Teşekkürler çözümünüz için fakat bi noktada takıldım integral belirli olduğu için sınırları yazmamız gerek,uyguladığınız dönüşümde $ e^u=0 $ için değer mevcut değil burada  integralin son halini t cinsinden tekrar yazıp sonuca ulaşabiliriz demi(improper integral kurallarını uygulayarak)

`Has olmayan' dedigimiz has olan yani uygun olan integrallerin limitidir. Bu nedenle o noktada limit almak gerekir. 

Genel olarak limit almak onemli. Limit bu kavrama oturuyor. Ornegin $$\int_0^1 \frac{\sin x}{x}dx$$ integraline `has olmayan' demeyiz. Cunku $$f(x)=\begin{cases} 0 &\text{ eger } x=0 \text{ ise }\\ \frac{\sin x}{x} &\text{ eger } x=0 \text{ ise }\end{cases}$$ fonksiyonu $[0,1]$ kapali araligi uzerinde sinirlidir. Dikkat ettiysen surekli de yapmadim. Kapali aralik uzerinde sinirli olabilecek bir fonksiyon olmasi bizim icin yeterli. 

Ozetle: Yani has olmayan integral sadece has olanin makul bir limiti. Tabii onemli olan diger kavram da su: limit almak has olanlarda da yapilabilir mi, evet. (Ispat olarak buna (video) bakabilirsin). Bu sekilde has olsun, olmasin, istedigin yerde limit alabilirsin.
...