$\int _{1}^{xy}f\left( t\right) dt=y\int _{1}^{x}f\left( t\right) dt+x\int _{1}^{y}f\left( t\right) dt$ ve $f(1)=3$ ise f(x)=?

Question

$x$ ve $y$ ye göre türevini aldım.

$\int _{1}^{xy}f\left( t\right) dt=y\int _{1}^{x}f\left( t\right) dt+x\int _{1}^{y}f\left( t\right) dt$ 

iki çıkan denklemi birbirinden çıkararak,

$\left( x-y\right) f\left( xy\right) =\int _{1}^{x}f\left( t\right) dt-\int _{1}^{y}f\left( t\right) dt$

denklemini elde ettim ve buradan

$f(xy)=f(x)$ buldum, ama getiremedim sonucu? belki başka bir şekilde çıkıyordur bilmiyorum.

cevap: $3+3logx$ 

Answer 1

$x>0$, $y>0$ ve $f$ fonksiyonunun sürekli olduğunu varsayacağız.

$F\left( x\right) =\int_{1}^{x}f\left( t\right) dt$ dersek,

$F\left( xy\right) =yF\left( x\right) +xF\left( y\right) $ olur. Burada $x>0$, $y>0$ için 

$\frac{F\left( xy\right) }{xy}=\frac{F\left( x\right) }{x}+\frac{F\left(y\right) }{y}$;

$\frac{F\left( x\right) }{x}=G\left( x\right) $ dersek, $G\left( xy\right) =G\left( x\right) +G\left( y\right) $ bulunur. 

$x>0$ ve $y>0$ varsayıldığından, $x=e^{u}$ ve $y=e^{v}$ olacak şekilde $u,v\in \mathbb{R}$ vardır. Denklemde yerlerine koyarsak,

$G\left( e^{u+v}\right) =G\left( e^{u}\right) +G\left( e^{v}\right) $ olur.

$H\left( t\right) =G\left( e^{t}\right) $, $\left( t\in \mathbb{R}\right) $ dersek $H\left( u+v\right) =H\left( u\right) +H\left( v\right) $ bulunur. $H$ sürekli fonksiyon olduğundan, yukarıdaki Cauchy denkleminin çözümü,

$H\left( u\right) =cu$, ($c$ sabit) şeklindedir. Adım adım geriye gidersek,

$G\left( e^{t}\right) =ct$ eşitliğinden, $G\left( x\right) =c\ln x$, $x>0$

ve buradan da $F\left( x\right) =cx\ln x$, $x>0$  olur. Böylece,

$\int_{1}^{x}f\left( t\right) dt=cx\ln x$,  $x>0$  elde edilir.

Türev alırsak, f sürekli olduğundan, 

$f\left( x\right) =\left( cx\ln x\right) ^{^{\prime }}=c\left( 1+lnx\right) $ olur. $f\left( 1\right) =3$ şartından, $c=3$ bulunur.

Comments

çok teşekkürler zaman ayırdığınız için. çok güzel bir çözüm olmuş