Egitim

Alt küme sayısı

1 beğenilme 0 beğenilmeme
69 kez görüntülendi
n elemanlı bir kümenin alt kümelerinden, hiçbiri bir diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde 
n çiftse en çok  

$\left( \begin{matrix} n\\ \dfrac {n} {2}\end{matrix} \right)$
 n tekse en çok
$\left( \begin{matrix} n\\ \dfrac {n\mp 1} {2}\end{matrix} \right)$ küme seçilebilir.
Bu ifade nasıl kanıtlanabilir?
Öncelikle C(n,m) kombinasyonu kadar m  elemanlı alt kümeleri alalım.Cevaba  m elemanlılar dışında bir küme dahil edilemez.Çünkü m elemanlı kümeler içerisinde kendisinden daha az elaman sayısına sahip olan her alt kümeyi kapsayan  bir küme vardır.Kendisinden daha fazla elaman sayısına sahip olan kümelerin her biri de bu m elemanlılardan birini mutlaka kapsar.Önemli olan max sonuca ulaşmak adına alt küme için hangi eleman sayısını seçtiğimiz
Elimdeki kaynakta yukarıda yazdığım genelleme yapılmış.Fakat nasıl kanıtlanabileceğine dair fikir yürütemiyorum 



10, Ağustos, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Asli__ (48 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ben bunu bir yerde ispatlamistim ama nerede, ne zaman hatirlamiyorum... 

Ipucu: Su sekilde yazmak yeterli ($n$ ve $m$ uygun olmak uzere) $$C(n,m)=\prod_{i=1}^{m}\frac{n+1-i}{i}$$ olur. 

Cevap icin islemler: $1\le i \le n$  icin $$\frac{n+1-i}{i}$$ degerini incelemek yeterli. Bu deger $\ge 1$ ise carpmaya katalim, degil ise duralim. Sunu gormek zor degil: $$\frac{n+1-i}{i}\ge 1 \iff i\le \frac{n+1}{2}$$ ve esitlik sadece $(n+1)/2$'de saglanir.

10, Ağustos, 2017 Sercan (23,476 puan) tarafından  cevaplandı
...