Bu çözüme başlamadan önce rasyonel sayılarla ilgili 2 özellik belirtmek istiyorum;
1)Rasyonel bir sayının başka bir tabana göre yazılımı yine rasyoneldir. (mesela 2,10 tabanları)
2)Her rasyonel sayının devirli ondalık gösterimi vardır.
∑∞k=1(12)n.(n+1)2 sayısına S diyelim.
S 'yi rasyonel kabul edelim.
Eğer S rasyonelse o zaman S' nin başka bir tabana göre yazılımı da rasyonel olacaktır.
Mesela S yi 2 tabanında inceleyelim;
12+(12)3+(12)6+... şeklinde giden bir sayıyı 2 tabanında yazacak olursak
S=(0,1010010001...)2 olur.
Bu açılımı incelediğimizde devirli ondalık gösterimi olamayacağını görürüz ; çünkü 0'lar sonsuz sayıya yaklaşsa bile daima sonlarında bir 1 vardır. (Bu sebepten ötürü devreden bir ifade yoktur)
Bu da bu sayının rasyonel olmadığını gösterir. (Özellik 2)
Eğer S'ye rasyonel dediysek ve S'nin 2 tabanındaki yazılımı rasyonel değilse kabulümüz yanlıştır. Yani S rasyonel değildir. S rasyonel değilse de irrasyoneldir.