Çarpım Uzaylarında İç

0 beğenilme 0 beğenilmeme
37 kez görüntülendi

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar olmak üzere

$$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow (A\times B)^{\circ}=A^{\circ}\times B^{\circ}$$ olduğunu gösteriniz.

15, Mayıs, 2017 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,114 puan) tarafından  soruldu

Bu linkteki bilgiden faydalanabilirsiniz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\left.\begin{array}{ccc} (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow (A^{\circ}\subseteq A)(B^{\circ}\subseteq B)\Rightarrow A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq A\times B\Rightarrow (A^{\circ}\times B^{\circ})^{\circ}\subseteq (A\times B)^{\circ}\\ \\ (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow (A^{\circ}\in\tau_1)(B^{\circ}\in\tau_2)\Rightarrow A^{\circ}\times B^{\circ}\in\tau_1\star\tau_2\Rightarrow (A^{\circ}\times B^{\circ})^{\circ} =A^{\circ}\times B^{\circ} \end{array}\right\}\Rightarrow A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq (A\times B)^{\circ}\ldots (1)$


$\left.\begin{array}{rr} (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\in\tau_1\star\tau_2\\ \\ \pi_1:X\times Y\to X, \pi_1(x,y)=x \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_1) \text{ açık}\end{array}\right\}\overset{?}{\Rightarrow} \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\in\tau_1\Rightarrow\left(\pi_1[(A\times B)^{\circ}]\right)^{\circ}=\pi_1[(A\times B)^{\circ}]\ldots (2)$

$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\subseteq A\times B\Rightarrow \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\subseteq \pi_1[A\times B]=A\Rightarrow (\pi_1[(A\times B)^{\circ}])^{\circ}\subseteq A^{\circ}\ldots (3)$

$(2),(3)\Rightarrow \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\subseteq  A^{\circ}\ldots (4)$


$\left.\begin{array}{rr} (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\in\tau_1\star\tau_2\\ \\ \pi_2:X\times Y\to Y, \pi_2(x,y)=y \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_2) \text{ açık}\end{array}\right\}\overset{?}{\Rightarrow} \pi_2[(A\times B)^{\circ}]\in\tau_2\Rightarrow\left(\pi_2[(A\times B)^{\circ}]\right)^{\circ}=\pi_2[(A\times B)^{\circ}]\ldots (5)$

$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\subseteq A\times B\Rightarrow \pi_2[(A\times B)^{\circ}]\subseteq \pi_2[A\times B]=B\Rightarrow (\pi_2[(A\times B)^{\circ}])^{\circ}\subseteq B^{\circ}\ldots (6)$

$(5),(6)\Rightarrow \pi_2[(A\times B)^{\circ}]\subseteq  B^{\circ}\ldots (7)$

$(4),(7)\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\overset{?}{\subseteq} \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\times\pi_2[(A\times B)^{\circ}]\subseteq A^{\circ}\times B^{\circ}\ldots (8)$


$$(1),(8)\Rightarrow (A\times B)^{\circ}=A^{\circ}\times B^{\circ}.$$

Not : Son "?" işaretinin gerekçesi yorumdaki linkte mevcut. Diğer "?" işaretlerinin olduğu yerlerde de yine kafa yorulmasının faydalı olacağını düşünüyorum.

6, Haziran, 2017 murad.ozkoc (9,114 puan) tarafından  cevaplandı
20, Haziran, 2018 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
...