Fonksiyon sorusu

Question

$x.f^3(x)+f(x)-1=f^2(x)$ eşitliğini sağlayan f(x) fonksiyonu birebir ve örten olduguna gore $f^{-1}(1)$ kactir?

@Fonksiyonun derecesini bularak yapmaya calistim.

Comments

$f^{-1}(1)=a$ ise $f(a)=1$ olmalıdır. Verilen eşitlikte $x$ yerine $a$ yazılırsa $a.f^3(a)+f(a)-1=f^2(a)\Rightarrow a+1-1=1\Rightarrow a=1$ olur. 

---

Diger bir soru da su olmali: Bu sarti saglayan birebir ve orten bir fonksiyon var mi?

---

Aynen ben de merak ediyorum böyle bir fonksiyonun varlığını.

Answer 1

(Böyle bir fonksiyonun varlığı kabul edilirse, $y=f(x)$ olmak üzere)

$xy^3-y^2+y-1=0$ olur. $x=\frac{y^2-y+1}{y^3}$ olarak çözüldüğüne göre 

$f^{-1}(x)=\frac{x^2-x+1}{x^3}$ olmalıdır. Buradan $f^{-1}(1)=1$ bulunur. (bu zaten bulunmuştu)

Böyle bir fonksiyonun varlığını şöyle gösterebiliriz:

$g(x)=\frac{x^2-x+1}{x^3}$ olsun. $g'(x)=-\frac{x^2-2x+3}{x^4}=-\frac{(x-1)^2+2}{x^4}$ olur

Bu fonksiyonun (1 i içeren)  $(0,+\infty)$  aralığındaki türevi  negatif olduğu için,   bu aralıkta $g$ birebirdir. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=+\infty$ ve $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$ olduğu için $g$ nin görüntü kümesi  $(0,+\infty)$ dir. 

Öyleyse $g$ nin $(0,+\infty)$ aralığında tanımlı bir ters fonksiyonu vardır. O da aranan  $f$ fonksiyonu olacaktır.

(Ek: 3. derece denklemi çözerek de $f$ yi bulabiliriz ama o formülden birebir olduğu aralığı bulmanın kolay olacağını sanmıyorum)

Comments

Teşekkur ettim. Hepinizin zihnine saglik.