Türev anlık hız

0 beğenilme 0 beğenilmeme
10,128 kez görüntülendi

Bir dairenin yaricapi saniyede $0,02$ cm lık hizla artmaktadır. Dairenin yaricapi $10$ cm olduguna gore alanindaki degisim hizi baslangicta kaç cm kare/s dir

Biri soyle cozmus $A=\pi r^2$

$dA=2\pi rdr$

$dA=2\pi\cdot10\cdot0,02=0,4\pi$

Tabi Ben pek alamadim cozumu

30, Mart, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde srh (100 puan) tarafından  soruldu
30, Mart, 2017 Sercan tarafından düzenlendi

Lutfen sorularimizi duzenli yazalim. r^2 gibi basit bir kodu r(kare) olarak yazmayalim.

Düzelttiğiniz için Allah sizden razı olsun telefon dan yazdığım için öyle oldu

Yarıçap uzunluğu $r$ olan bir dairenin alanı $\pi.r^2$ olduğundan,eğer alana $A$ dersek $A(r)$ olduğu açıktır. Yani alan yarıçap uzunluğunun bir fonksiyonudur. Ancak bizden alanın  zamana bağlı değişim hızı isteniyor. Yani $\frac{dA}{ds}$ isteniyor.

$$A=\pi.r^2\Rightarrow dA=d(\pi.r^2)$$

$$dA=2\pi.r.dr$$ olur. her iki tarafı $ds$ ile bölersek,

$$\frac{dA}{ds}=2.\pi.r.\frac{dr}{ds}$$ verilen değerler yerine yazılırsa 

$$\frac{dA}{ds}=2.\pi.10.0,02=0,4\pi$$  olur.


Merhabalar sayın srh.  Soruyu foto olarak değil de latex kullanarak yazarsan yardımcı olunabilir.

ds kaç oluyor

$ds$'nin tek başına anlamı $s$ nin differansiyeli demek. Ama $\frac{dA}{ds}$ ise alanın zamana göre türevi(anlık değişimi) demektir.

çemberin alan formülünün  türevi çevre formülünü veriyor bunun ispatı var mı?

$A=\pi.r^2\rightarrow A'=2\pi.r$ değil mi?

işte bunun ispatı var mı?

İspatı türev alma kuralından çıkar. $A(r)=\pi.r^2$ ise bunun $r$'ye göre türevi nedir?

tamamda alandan çevre nasıl çıkıyor. alanın türevi alan fonksiyonunun eğimi demektir eğim nasıl oluyorda çevreyi veriyor

Kürenin hacminin de (yarıçapa göre) türevini alınca kürenin yüzey alanı çıkacaktır.

Bunun geometrik bir nedeni var.

Bu geometrik nedeni aciklaya bilirmisn

$r$ yarıçaplı bir dairenin yarıçapını $dr$ kadar arttırır daireye eklenen alan (neredeyse) dairenin (çemberin) çevresi ile kalınlığının çarpımı kadar artar.

İnce bir küresel kabuğun hacmi de kürenin yüzeyi ile kalınlığının çarpımına çok yakındır.

$dV\approx 4\pi r^2 dr$ olur. 

Cebirsel olarak ($dr,\ r$ ye kıyasla çok küçük olduğunda):

$dA=\pi (r+dr)^2-\pi r^2=2\pi r\,dr+\pi(dr)^2\approx2\pi r\cdot dr$ olur.



pek bi şey anlamadım

...